\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\date{\today}
\title{}
\author{}
\begin{document}



\section{\texorpdfstring{Modelos Lineares Múltiplos}{Modelos Lineares Multiplos}}
\label{sec:modelos_lineares_multiplos}


\subsection{\texorpdfstring{Simplificando Modelos}{Simplificando Modelos}}
\label{sec:simplificando_modelos}


Durante o curso usaremos o procedimento de simplificar o modelo a partir do modelo cheio.
O procedimento consiste em comparar modelos aninhados, dois a dois, retendo o que está mais acoplado aos dados. Caso os modelos não seja diferentes no seu poder explicativo, retemos o modelo mais simples, apoiados no princípio da parcimônia.

\subsubsection{\texorpdfstring{Princípio da parcimônia (Navalha de Occam)}{Principio da parcimonia Navalha de Occam}}
\label{sec:principio_da_parcimonia_navalha_de_occam}

\begin{itemize}
  \item número de parâmetros menor possível
  \item linear é melhor que não-linear
  \item reter menos pressupostos
  \item simplificar ao mínimo adequado
  \item explicações mais simples são preferíveis
\end{itemize}


\subsubsection{\texorpdfstring{Método do modelo cheio ao mínimo adequado}{Metodo do modelo cheio ao minimo adequado}}
\label{sec:metodo_do_modelo_cheio_ao_minimo_adequado}

\begin{enumerate}
  \item ajuste o modelo máximo (cheio)
  \item simplifique o modelo:

  \begin{itemize}
    \item inspecione os coeficientes (summary)
    \item  remova termos não significativos
  \end{itemize}
  \item ordem de remoção de termos: 

  \begin{itemize}
    \item interação não significativos (maior ordem)
    \item termos quadráticos ou não lineares
    \item variáveis explicativas não significativas
    \item agrupe níveis de fatores sem diferença
    \item ANCOVA: intercepto não significativos $\rightarrow$ 0
  \end{itemize}
  \end{enumerate}


\subsubsection{\texorpdfstring{Tomada de decisão}{Tomada de decisao}}
\label{sec:tomada_de_decisao}


\textbf{ A diferença não é significativa: }
      \begin{itemize}
  \item retenha o modelo mais simples
    \item continue simplificando
  \end{itemize}


\textbf{A difereça é significativa: }
      \begin{itemize}
  \item retenha o modelo complexo 
    \item este é o modelo \underline{MINÍMO ADEQUADO}
  \end{itemize}


\subsection{\texorpdfstring{Interação entre preditoras}{Interaao entre preditoras}}
\label{sec:interaao_entre_preditoras}


A interação é um elemento muito importante quando temos mais de uma preditora, pois desconsiderá-la pode limitar o entendimento dos processos envolvidos. Um exemplo cotidiano da interação é visto no uso de medicamentos e o alerta da bula sobre interação medicamentosa ou efeitos colaterais para pessoas portadoras de doenças crônicas. Dizemos que um medicamento tem interação com outra substância quando o seu efeito é modificado pela presença de outra substância, como por exemplo a ingestão de álcool junto com muitos medicamentos. Nos modelos, a interação tem uma interpretação similar, a resposta pelo efeito de uma variável preditora se altera com a presença de outra preditora.  

\subsubsection{\texorpdfstring{Simulando um experimento plausível}{Simulando um experimento plausivel}}
\label{sec:simulando_um_experimento_plausivel}


Vimos que existe um efeito do tipo de solo na produção de um cultivar no exemplo de ANOVA. Uma expectativa plausível é que a adição de adubo também tenha efeito na produtividade e modifique o efeito do solo. Esse é nosso próximo exemplo. Para ele vamos usar uma simulação de dados similar ao que fizemos no modelo linear simples. 

Nos dados originais do exercício de ANOVA a produtividade média nos solos foi de:
      \begin{itemize}
  \item arenoso:   9.9
  \item argiloso: 11.5
  \item humico:   14.3
\end{itemize}


Vamos, a partir dessa informação, criar um experimento onde, além da diferença do solo, metade dos cultivos foram tratados com adubo orgânico.

\textless /WRAP\textgreater 
\begin{itemize}
  \item1. Criamos vetores para representar as variáveis solo e adubo.
  \item2. Para cada observação incluímos o efeito médio de produtividade de cada solo (10 réplicas para cada solo)  
  \item3. Associamos um valor de efeito do tratamento adubo, como:

  \begin{itemize}
    \item arenoso:  + 2.7
    \item argiloso: + 0.7
    \item humico:   + 0.2
  \end{itemize}
  \item4. Em seguida somamos um efeito aleatório na resposta para criar um data frame com as variáveis preditoras e resposta.
\end{itemize}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


solo <- rep(c("are", "arg", "hum"), each=10)
adubo <- rep(rep(c(FALSE, TRUE), each=5), 3)
meansolo <- rep(c(9.9, 11.5, 14.3), each=10)
efeitoadubo <- rep(c(0, 2.7, 0, 0.7, 0, 0.2), each=5)
residuo <- rnorm(30, 0, 1)
dadosolo <- data.frame(solo, adubo, prod = meansolo + efeitoadubo + residuo)
str(dadosolo)

\end{lstlisting}



Confira se o objeto \texttt{dadosolo} foi organizado corretamente

\subsubsection{\texorpdfstring{Gráfico dos dados}{Grafico dos dados}}
\label{sec:grafico_dos_dados}


Agora um gráfico simples. Busque entender todos os argumentos das funções abaixo.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


par( mar=c(4,4,2,2),   cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, las=1, bty="n")
boxplot(prod ~  adubo + solo, data = dadosolo, ann= FALSE, xaxt= "n",  outline= FALSE, col = rep(c(rgb(0,0,0, 0.1),rgb(0,0,0, 0.5)), 3)  )
mtext(c("arenoso", "argiloso", "húmico"), side = 1, at= c(1.5, 3.5, 5.5), line = 1, cex = 2)
legend("bottomright", legend= c("sem", "com"),title = "Adubo", bty= "n", pch = 15, cex = 1.5,col = c(rgb(0,0,0, 0.1),rgb(0,0,0, 0.5)))  

\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Modelo Cheio}{Modelo Cheio}}
\label{sec:modelo_cheio}


Abaixo construímos o modelo cheio com as variáveis adubo e tipo de solo.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


soloFull <- lm(prod ~ adubo + solo + solo:adubo, data = dadosolo)
summary(soloFull)

\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Modelo sem Interação}{Modelo sem Interaao}}
\label{sec:modelo_sem_interaao}


A primeira simplificação possível é retirar o efeito da interação entre as preditoras e comparar com o modelo cheio.  \lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


solo01 <- lm(prod ~ adubo + solo , data = dadosolo)
anova(solo01, soloFull)

\end{lstlisting}



O resultado nos indica que o modelo cheio é o modelo mínimo adequado. Ou seja, explica uma porção considerável da variação dos dados a mais que o modelo mais simples, sem a interação entre tipo de solo e adubo. Para completar, vamos fazer a comparação com o modelo nulo. Essa comparação pode ser feito de duas maneiras: (1) construindo o modelo nulo e comparando por anova, ou (2) interpretando a tabela de anova do modelo mínimo adequado.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


solo00 <- lm(prod ~ 1 , data = dadosolo)
anova(solo00, soloFull)
anova(soloFull)

\end{lstlisting}



\subsubsection{\texorpdfstring{Diagnóstico}{Diagnostico}}
\label{sec:diagnostico}


O passo final é investigar se o modelo cumpre com as premissas do modelo linear. \lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


par(mfrow = c(2,2), mar=c(4,4,2,2), cex.lab=1.2,
    cex.axis=1.2, las=1,  bty="n")
plot(soloFull)
\end{lstlisting}



Não poderia ser mais comportado. Isso significa que criamos os dados corretamente!!
Agora é a parte mais difícil e interessante de qualquer análise de dados, a interpretação biológica suscita do resultado! 

\subsubsection{\texorpdfstring{Cabeçalho}{Cabealho}}
\label{sec:cabealho}


\textbf{\underline{Interpretando Variáveis Indicadoras (Dummy)}}

As variáveis indicadoras devem ser interpretadas com cuidado. No exemplo acima, o modelo pode ser descrito da seguinte forma:

$$ y_{tr} =  \alpha + \beta_1 * arg + \beta_2 * hum + \beta_3 * adubo + \beta_4 * arg * adubo + \beta_5 * hum * adubo $$

As variáveis \underline{arg}, \underline{hum} e \underline{adubo} são dummy ou indicadoras, representadas por 1 quando presente e 0 quando ausentes. $\alpha, \beta_i$ representam as estimativas do modelo e estão relacionados, nesse caso, ao efeito de cada tratamento.

Para calcular o valor predito para o tratamento no solo arenoso com adubo, temos:

$$ y_{arenAdubo} =  \alpha + \beta_3 * adubo $$

Isso em decorrência do tratamento \textbf{arenoso sem adubo} estar representado pelo intercepto ($\alpha$) do modelo.

Para o tratamento de solo \textbf{argiloso com adubo} o predito é:

$$ y_{argAdubo} =  \alpha + \beta_1 * arg + \beta_3 * adubo + \beta_4 * arg * adubo $$

E assim por diante, usando as variáveis indicadoras e os coeficientes estimados para o cálculo do predito pelo modelo.

\subsection{\texorpdfstring{Peso de bebês ao nascer}{Peso de bebes ao nascer}}
\label{sec:peso_de_bebes_ao_nascer}


Vamos analisar o dado de peso dos bebês ao nascer e como isso se relaciona às características da mãe. Esses dados pode ser consultados em \url{https://www.stat.berkeley.edu/users/statlabs/labs.html}. 
\begin{itemize}
  \item baixe o arquivo  \href{media/bie5782/02_tutoriais/tutorial7c/babies.csv}{babies.csv} no seu diretório de trabalho
  \item Vamos selecionar o modelo mínimo adequado a partir das variáveis:

  \begin{itemize}
    \item resposta \textbf{bwt} : peso do bebê ao nascer em onças(oz)
    \item preditoras:

      \begin{itemize}
        \item gestation: tempo de gestação (dias)
        \item age: idade
        \item weight: peso da mãe
        \item smoke: 0 não fumante; 1 fumante
      \end{itemize}
      \end{itemize}
      \end{itemize}


Para simplificar nosso exercício vamos usar apenas as preditoras: tempo de gestação, idade da mãe e se ela é fumante ou não.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

bebes <- read.table("babies.csv", header= TRUE, as.is = TRUE, sep= "\t")
str(bebes)
mlfull <- lm(bwt ~ gestation + age + smoke
           + gestation:age + gestation:smoke
         + age: smoke + gestation:age:smoke, data = bebes) 
summary(mlfull)

\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Interação Tripla}{Interaao Tripla}}
\label{sec:interaao_tripla}


Vamos simplificar o modelo, retirando a interação \texttt{gestation:age:smoke} que aparenta não ser importante.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


ml01 <- lm(bwt ~ gestation + age + smoke
           + gestation:age + gestation:smoke
         + age: smoke, data = bebes) 
anova(ml01, mlfull)
summary(ml01)

\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Interações Dupla}{Interaoes Dupla}}
\label{sec:interaoes_dupla}


Continuamos a simplificação, retirando as interações duplas uma a uma para avaliar quais delas devem ser mantidas. Os testes parciais das variáveis no \texttt{summary} nos dá uma indicação de quais devem ser mantidas, mas uma boa prática é fazer o processo completo, já que um elemento no modelo pode mudar o efetividade de outro, principalmente quando compartilham alguma porção de variação explicada.\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

## sem age:smoke
ml02 <- lm(bwt ~ gestation + age + smoke
           + gestation:age + gestation:smoke, data = bebes) 
anova(ml01, ml02)
## sem gestation:smoke
ml03 <- lm(bwt ~ gestation + age + smoke
           + gestation:age  + age:smoke, data = bebes)
anova(ml01, ml03)
## sem gestation:age
ml04 <- lm(bwt ~ gestation + age + smoke
           + gestation:smoke + age: smoke, data = bebes) 
anova(ml01, ml04)

\end{lstlisting}



A única interação dupla que não parece fazer diferença quando retiramos do modelo é a \texttt{age:smoke}, as outras explicam uma porção razoável da variação dos dados.

\subsection{\texorpdfstring{Interpretação do modelo}{Interpretaao do modelo}}
\label{sec:interpretaao_do_modelo}


O \texttt{summary} nos fornece as principais informações sobre o modelo mínimo adequado.  \lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}

summary(ml02)
confint(ml02)
anova(ml02)

\end{lstlisting}



\end{document}
