\documentclass[a4paper, oneside, 10pt]{article}
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\author{}
\begin{document}



\section{\texorpdfstring{Marcos Araújo Castro e Silva}{Marcos Araujo Castro e Silva}}
\label{sec:marcos_araujo_castro_e_silva}


\includegraphics[keepaspectratio=true,width=0.8\textwidth]{bie5782/01_curso_atual/alunos/trabalho_final/macsilva/img_20170409_114644_343}


Doutorando em Genética e Biologia Evolutiva no IB/USP, trabalha com análise de ancestralidade e miscigenação em populações humanas brasileiras. 

\textbf{Contato:} \href{mailto:marcosaraujocastro@gmail.com}{marcosaraujocastro@gmail.com}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}



\subsection{\texorpdfstring{Meus Exercícios}{Meus Exercicios}}
\label{sec:meus_exercicios}


Exercícios

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}



\subsection{\texorpdfstring{Proposta de Trabalho Final}{Proposta de Trabalho Final}}
\label{sec:proposta_de_trabalho_final}


\subsubsection{\texorpdfstring{Plano A: Equilíbrio de Hardy-Weiberg}{Plano A Equilibrio de HardyWeiberg}}
\label{sec:plano_a_equilibrio_de_hardyweiberg}


\paragraph{\texorpdfstring{Contextualização: o que é o Equilíbrio de Hardy-Weinberg?}{Contextualizaao o que e o Equilibrio de HardyWeinberg}}
\label{sec:contextualizaao_o_que_e_o_equilibrio_de_hardyweinberg}


O \href{https://www.nature.com/scitable/knowledge/library/the-hardy-weinberg-principle-13235724}{Equilíbrio de Hardy-Weinberg (EHW)} é um modelo nulo para estudos evolutivos e em genética de populações, em outras palavras ele descreve uma série de pressupostos que quando verdadeiros determinam a não ocorrência de alteração das frequências gênicas (alélicas) ao longo das gerações. Os pressupostos do modelo de Hardy-Weinberg são?

A) Organismos diplóides;

B) Reprodução exclusivamente sexuada;

C) Não há sobreposição de gerações;

D) Frequências alélicas idênticas entre os sexos;

E) Acasalamentos ao acaso;

F) População infinita (muito grande);

G) Não há migração, 

H) Não há mutação;

I) Seleção natural ignorável.

Estas são as premissas clássicas do modelo, porém adotaremos aqui mais duas, por hora ao menos, para evitar tornar a função demasiadamente complexa, que é a ocorrência de apenas 2 alelos por gene e que estes genes sejam autossomais (este pressoposto é comumente adotado). Quando nenhum dos pressupostos do modelo é quebrado, este permite a previsão das frequências genotípicas e alélicas da próxima geração apenas com o conhecimento das frequências gênicas da atual, pois as frequências se mantem constantes. 

\paragraph{\texorpdfstring{O que a função vai fazer?}{O que a funao vai fazer}}
\label{sec:o_que_a_funao_vai_fazer}


1) Testar se a(s) população(ões) encontram-se em EHW, através dos seguintes passos:

. Calcular as frequências alélicas a partir de frequências genotípicas ou valores de contagem de indivíduos, para uma ou múltiplas populações;

. Estimar as frequências genotípicas esperadas sobre EHW;

. Realizar o teste de x\textasciicircum{}2 de aderência entre os valores observados e esperados, de modo a determinar se a(s) população(ões) encontra-se sob EHW para o gene de interesse;

. Determinar o p-valor associado a estatística x\textasciicircum{}2 calculada, inferir se a(s) população(ões) encontra(m)-se ou não sobre EHW, de acordo com o valor de significância escolhido pelo usuário.

2) A função poderá ainda inferir sob a existência de estrutura populacional e endogamia. Por meio do cálculo do \href{https://en.wikipedia.org/wiki/F-statistics}{índice de fixação}, que é basicamente a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência, podendo ainda particionar a probabilidade devida a endogamia e aquela associada a deriva genética (e portanto estrutura populacional). Estes índices estão relacionado à redução do número de indivíduos heterozigotos observados em relação aos esperados, dentro de cada subpopulação (FIS), da heterozigosidade esperada dentro de cada subpopulação em relação a esperada para a população como um todo (FST) e do número de heterozigotos observados e esperados na população como um todo (FIT). Os passos são:

. Calcular o FIS (a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência devido a endogamia);

. Calcular o FST (a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência devido a deriva genética);

. Calcular o FIT (a probabilidade total de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência).

\paragraph{\texorpdfstring{Função e argumentos}{Funao e argumentos}}
\label{sec:funao_e_argumentos}


Função: genpop(dados, modo= ,,ewh", sig=0.05)

1º Argumento (dados): um objeto da classe ,,dataframe" com genótipos nas colunas (3 colunas: 2 para homozigotos/ 1 para heterozigotos) e com as populações nas linhas (quantas forem necessárias).

2º Argumento (modo): uma ,,string" de caracteres específica que condiciona o modo de funcionamento da função: 

. modo = ,,ehw": determina que a função irá testar se a(s) população(ões) encontram-se em EHW; 

. modo = ,,fit": irá calcular o índice de fixação para as populações, as porções devidas à deriva genética e à endogamia.

3º Argumento (sig): um valor númerico indicando a significância dos testes estatísticos a serem realizados. Não precisa existe para o modo ,,fit".

\paragraph{\texorpdfstring{Resultados e objetos de saída}{Resultados e objetos de saida}}
\label{sec:resultados_e_objetos_de_saida}


- modo ,,ehw": Produz um objeto da classe ,,list" contendo nas duas primeiras posições, 2 vetores contendo caracteres identificadores das populações, no primeiro das populações que não desviam do EHW e no segundo as populações que desviam. 

No restante das posições são colocados n objetos da classe ,,dataframe", onde n é o número de populações estudadas. Cada objeto contendo 4 colunas: número de indivíduos observados, número de indivíduos esperados, valor do teste x\textasciicircum{}2 calculado e p-valor. E nas linhas os 3 genótipos possíveis homozigotos e heterozigoto.

- modo ,,fit": Produz um objeto da classe ,,dataframe" contendo 3 colunas com os nomes FIS, FST e FIT e os valores numéricos das estimativas dos índices.

\paragraph{\texorpdfstring{Possíveis incrementos e desafios}{Possiveis incrementos e desafios}}
\label{sec:possiveis_incrementos_e_desafios}


- Lidar com problemas como por exemplo dados faltantes e frequências que somam mais do que 1 (ou 100\%).

- Possibilitar os cálculos para genes com 3 alelos e para genes ligados ao sexo (preciso pensar mais em como operacionalizar).

- Incluir outros índices de interesse em genética de populações, como outros modos de funcionamento da função (argumento ,,modo").

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

 Comentários Lucas
Hey, Marcos!\\
Gostei bastante dessa função. Pela forma com que você apresentou sua proposta, me pareceu que você tem bastante segurança sobre o assunto e, então, a parte desafiadora fica a cargo do uso da linguagem. Esta proposta me parece útil e de certa forma, mais trabalhosinha, então incentivo você a ficar com ela. Uma coisa que fiquei pensando seria a necessidade \emph{real e oficial} dessa lista como objeto de retorno no caso do modo ,,ehw". Eu entendi o porque dela, mas fiquei pensando se poderíamos substituir ela por algum objeto dataframe que seja mais fácil de trabalhar (mas só se tiver). Também, sendo bastante honesto com você, eu entendo pouco de genética de populações e por isso pode ser que eu esteja falando algo sem sentido, mas gostei muito da ideia de gráfico que você apresentou na proposta B (eu gosto de gráficos!) e fiquei me perguntando se não seria interessante algum plot que permita ao usuário entender a distribuição dessas frequências alélicas entre as populações. O que você acha? Teria alguma fundamentação teórica para isso?\\
Qualquer coisa, estamos aí! Abraços,\\
\emph{\href{mailto:lmcteixeira2@gmail.com}{Lucas}} \\
 Comentários Marcos
Oi Lucas, tudo bom?\\

Fico satisfeito que tenha gostado da proposta da função, também concordo que a primeira proposta será um desafio maior e também que gerará um produto mais útil depois. Quanto ao output da função, eu acho que já encontrei a solução, que seria mais ou menos a seguinte: eu colocaria todos os dados em um único dataframe, com uma população seguida pelas outras nas linhas subsequentes, conforme a tabela abaixo. E nas últimas duas colunas, primeiro aparece o valor do cálculo do p-valor, com base no x² acumulado para as três classes (os 3 genótipos) e depois uma coluna com valores lógicos, indicando se aquela população se encontra ou não em EHW. No exemplo o x² acumulado é dado por 0.002 + 0.05 + 0.3 = 0.352 e o p-valor é calculado a partir desse resultado pela função ,,pchisq()" do R, que para o exemplo é 0.4470168. Neste exemplo, se adotarmos um nível de significância (probabilidade do erro tipo 1) para o teste de 0.05, não se rejeita a hipótese de que a população em questão está sob EHW.

Como o p-valor é apenas um para cada população, ele aparece 3 vezes na tabela para cada população, assim como o valor lógico indicando se a população está ou não em EHW. Além disso a última coluna elimina a necessidade de produção das listas (em objetos da classe ,,vector") de populações que estão ou não em EHW. Portanto possibilita a função tenha como única saída um objeto da classe ,,dataframe".\\

Agradeço as suas dicas, já foram muito úteis. Por enquanto ainda estou pensando em como fazer cada um dos passos, mas já tenho esquematizado o desenho geral da função. A medida que surgirem dúvidas eu te pergunto.\\

Muito obrigado! Abraços,\\\begin{longtable}{|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{População } & \textbf{Genótipo } & \textbf{Observado } & \textbf{Esperado } & \textbf{x² } & \textbf{p-valor } & \textbf{EHW } \\ 
\hline
 
 1        & \multicolumn{1}{|c|}{   AA    } &  835      &  833.6    &  0.002    &  0.4470168  &  TRUE  \\ 
\hline
 
 1        & \multicolumn{1}{|c|}{   Aa    } &  156      &  158.9    &  0.05     &  0.4470168  &  TRUE  \\ 
\hline
 
 1        & \multicolumn{1}{|c|}{   aa    } &  9        &  7.5      &  0.3      &  0.4470168  &  TRUE  \\ 
\hline
 
 2        & \multicolumn{1}{|c|}{   AA    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
 2        & \multicolumn{1}{|c|}{   Aa    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
 2        & \multicolumn{1}{|c|}{   aa    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
 3        & \multicolumn{1}{|c|}{   AA    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
 3        & \multicolumn{1}{|c|}{   Aa    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
 3        & \multicolumn{1}{|c|}{   aa    } &           &           &           &             &        \\ 
\hline
 
\end{longtable}

 Comentários Lucas
Hey, Marcos!\\
Desculpe a demora em responder. Em campo aqui a internet nem sempre está muito amigável... rs\\
\\
Obrigado pelas explicações! Eu gostei da sua alternativa, acho que assim sua função vai ter um output mais ,,clean" e objetivo.\\
E sim!! Qualquer coisa, pode \href{mailto:lmcteixeira2@gmail.com}{me escrever por email}, se achar melhor, que eu consigo ver pelo celular mais rápido. Aí eu respondo :)\\
\\
Abraços,\\
Lucas


\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}



\subsubsection{\texorpdfstring{Plano B: Simulação de deriva genética}{Plano B Simulaao de deriva genetica}}
\label{sec:plano_b_simulaao_de_deriva_genetica}


\paragraph{\texorpdfstring{O que a função vai fazer?}{O que a funao vai fazer}}
\label{sec:o_que_a_funao_vai_fazer2}


Realiza uma simulação de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_drift}{Deriva genética} de ,,i" populações com tamanho populacional ,,n" para um gene bialélico ao longo de ,,x" gerações. Ao final produz uma tabela de resultados das simulações, um gráfico mostrando o que acontece ao longo do tempo e o resultado de um cálculo de probabilidade.

\paragraph{\texorpdfstring{Função e argumentos}{Funao e argumentos}}
\label{sec:funao_e_argumentos2}


Função: simder(p, n, g=100, prob=F)

1º Argumento (p): Um valor numérico ou um objeto da classe ,,vector" contendo valores numéricos, os quais representam a frequência de um dos alelos, a frequência do outro alelo é obtida pelo complemento (q=1-p), pois como são genes bialélicos, a frequência dos 2 alelos deve somar 1. O número de valores contidos pelo vetor é igual ao número ,,i" de populações a serem simuladas.

2º Argumento (n): Um valor inteiro ou um objeto da classe ,,vector" contendo valores inteiros que configuram o tamanho populacional. Na mesma forma do primeiro argumento, o número de valores colocados no vetor se refere à quantidade de populações a serem simuladas. Portando os vetores colocados em p e n devem possuir o mesmo comprimento.

3º Argumento (g): Um valor inteiro determinando o número de gerações simuladas. Por padrão é feita uma simulação com 100 gerações.

4º Argumento (prob): Um valor lógico (TRUE ou FALSE), indicando se a função deve fazer o cálculo da probabilidade da frequência de um alelo se fixar em 0 e 1, baseado nas simulações da função. Por exemplo, se x é a quantidade de vezes em que um alelo com a frequência p inicial se fixa em 1, e n é o número de simulações executadas, a probabilidade de que um alelo com frequência p inicial é dada por Probabilidade=x/n. Quando é fornecido o valor TRUE para esse argumento, todas as populações devem apresentar o mesmo tamanho populacional (,,n"), para que seja possível o cálculo da probabilidade. Caso o valor fornecido seja FALSE a função não faz o cálculo da probabilidade. Por padrão o valor fornecido ao argumento é FALSE.

\paragraph{\texorpdfstring{Resultados e objetos de saída}{Resultados e objetos de saida}}
\label{sec:resultados_e_objetos_de_saida2}


1) Um objeto da classe ,,Dataframe" contendo ,,i" colunas com as frequências alélicas de p, para cada uma das ,,i" populações e nas linhas figuram as ,,g" gerações.

2) Um gráfico de linhas, com as ,,g" gerações no eixo X e os valores de p no eixo Y. Cada uma das ,,i" populações é representada como uma linha no gráfico, com uma cor e tipo de linha diferente para cada.

3) Argumento prob=T: Uma mensagem informando a probabilidade da frequência alélica se fixar em 1 e 0.

\paragraph{\texorpdfstring{Possíveis incrementos e desafios}{Possiveis incrementos e desafios}}
\label{sec:possiveis_incrementos_e_desafios2}


- Incluir na função a simulação de outros processos e forças evolutivas. Comentários Lucas
Hey, Marcos!\\
Também gostei bastante dessa função. Você a apresentou de forma clara e concisa. Contudo, a primeira proposta me pareceu mais desafiadora e útil, pois permite ao usuário usá-la para diferentes objetivos. Eu investiria na primeira proposta.


\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}



\subsection{\texorpdfstring{Proposta selecionada}{Proposta selecionada}}
\label{sec:proposta_selecionada}


\subsubsection{\texorpdfstring{Plano A: Equilíbrio de Hardy-Weiberg (com as modificações sugeridas):}{Plano A Equilibrio de HardyWeiberg com as modificaoes sugeridas}}
\label{sec:plano_a_equilibrio_de_hardyweiberg_com_as_modificaoes_sugeridas}


\paragraph{\texorpdfstring{Contextualização: o que é o Equilíbrio de Hardy-Weinberg?}{Contextualizaao o que e o Equilibrio de HardyWeinberg}}
\label{sec:contextualizaao_o_que_e_o_equilibrio_de_hardyweinberg2}


O Equilíbrio de Hardy-Weinberg (EHW) é um modelo nulo para estudos evolutivos e em genética de populações, em outras palavras ele descreve uma série de pressupostos que quando verdadeiros determinam a não ocorrência de alteração das frequências gênicas (alélicas) ao longo das gerações. Os pressupostos do modelo de Hardy-Weinberg são?

A) Organismos diplóides;

B) Reprodução exclusivamente sexuada;

C) Não há sobreposição de gerações;

D) Frequências alélicas idênticas entre os sexos;

E) Acasalamentos ao acaso;

F) População infinita (muito grande);

G) Não há migração,

H) Não há mutação;

I) Seleção natural ignorável.

Estas são as premissas clássicas do modelo, porém adotaremos aqui mais duas, por hora ao menos, para evitar tornar a função demasiadamente complexa, que é a ocorrência de apenas 2 alelos por gene e que estes genes sejam autossomais (este pressoposto é comumente adotado). Quando nenhum dos pressupostos do modelo é quebrado, este permite a previsão das frequências genotípicas e alélicas da próxima geração apenas com o conhecimento das frequências gênicas da atual, pois as frequências se mantem constantes.

Neste sentido a automatização do teste de hipótese sobre o Equilíbrio de Hardy-Weinberg possibilita inferir rapidamente se existem ou não forças (ou processos) evolutivas atuando sobre grandes conjuntos de dados, contendo muitas populaçãoes. Este tipo de inferência somado a análise visual das frequências genotípicas observadas e esperadas sob EHW possui não apenas utilidade prática, mas pode também ser utilizado como instrumental didático no ensino de genética de populações e evolução.

\paragraph{\texorpdfstring{O que a função vai fazer?}{O que a funao vai fazer}}
\label{sec:o_que_a_funao_vai_fazer3}


1) Testar se a(s) população(ões) encontram-se em EHW, através dos seguintes passos:

. Sumarizar o número de indivíduos portadores de cada genótipo e o tamanho populacional de cada população;

. Calcular as frequências genotípicas observadas;

. Calcular as frequências alélicas a partir de frequências genotípicas observadas;

. Estimar as frequências genotípicas esperadas sobre EHW;

. Realizar o teste de x\textasciicircum{}2 de aderência entre os valores observados e esperados, de modo a determinar se a(s) população(ões) encontra-se sob EHW para o gene de interesse;

. Determinar o p-valor associado a estatística x\textasciicircum{}2 calculada e inferir se a(s) população(ões) encontra(m)-se ou não sobre EHW, de acordo com um valor de significância definido pelo usuário.

2) A função poderá ainda inferir sobre a existência de estrutura populacional e endogamia. Por meio do cálculo do índice de fixação, que é basicamente a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência, podendo ainda particionar a probabilidade devido à endogamia e aquela associada à estrutura populacional (e portanto à deriva genética). Estes índices estão relacionado à redução do número de indivíduos heterozigotos observados em relação aos esperados, dentro de cada subpopulação (FIS), da heterozigosidade esperada dentro de cada subpopulação em relação a esperada para a população como um todo (FST) e do número de heterozigotos observados e esperados na população como um todo (FIT). Os passos são:

. Calcular o FIS (a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência devido a endogamia);

. Calcular o FST (a probabilidade de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência devido a deriva genética);

. Calcular o FIT (a probabilidade total de sortear um indivíduo com 2 alelos idênticos por descendência).

\paragraph{\texorpdfstring{Função e argumentos}{Funao e argumentos}}
\label{sec:funao_e_argumentos3}


Função: genpop(dados, modo=,,ehw", alfa=0.05, input=,,freq", graphics=,,on")

1º Argumento (dados): um objeto da classe “data.frame” contendo nas linhas as populações (quantas forem necessárias) e nas colunas as frequências (valor numérico entre 0 e 1) genotípicas observadas de um gene bialélico (3 colunas = 2 homozigotos + 1 heterozigoto), seguidas de uma coluna contendo o tamanho populacional de cada população (totalizando 4 colunas), neste caso deve-se utilizar o argumento input = ,,freq"; Ou um objeto da classe ,,data.frame" contendo nas linhas os indivíduos (quantos forem necessários) e nas colunas o genótipo do indivíduo e a população a que este pertence (totalizando 2 colunas).

2º Argumento (modo): uma “string” de caracteres específica que condiciona o modo de funcionamento da função; modo = “ehw” determina que a função irá testar se a(s) população(ões) encontram-se em Equilíbrio de Hardy-Weinberg; modo = “fit”: determina que a função irá calcular o índice de fixação nas suas porções FIS, FST e FIT.

3º Argumento (alfa): um valor númerico indicando a significância do teste estatístico a ser realizado; É desconsiderado no modo “fit”.

4º Argumento (input): uma “string” de caracteres que especifica o tipo de arquivo de entrada usado na função; input = ,,freq" quando o objeto de entrada é o padrão da função, com valores de frequências genotípicas e tamanho populacional para cada população; input = ,,raw" quando o objeto de entrada contem apenas a informação sobre o genótipo e a população de cada indivíduo.

5º Argumento (graphics): uma “string” de caracteres que determina se serão construídos gráficos das frequências genotípicas observadas e esperadas, assim como das frequências alélicas; graphics = ,,on" para que os gráficos sejam gerados; graphics = ,,off" para que os gráficos não sejam gerados.

\paragraph{\texorpdfstring{Resultados e objetos de saída}{Resultados e objetos de saida}}
\label{sec:resultados_e_objetos_de_saida3}


- modo “ehw”: uma tabela (classe: data.frame) com as populações nas linhas e nas colunas os valores de indivíduos observados e esperados sobre EHW para cada genótipo, bem como os valores de X\textasciicircum{}2 calculados, p-valor e o resultado de um teste lógico, que compara o p-valor estimado para cada população com o nível de significância do teste estipulado pelo usuário através do argumento ,,alfa".

- modo “fit”: uma tabela (classe: data.frame) contendo 3 colunas, uma para cada índice (FIT, FST e FIS) e apenas uma linha com os valores dos índices calculados.

Em ambos os modos, dado o argumento 'graphics' = ,,on", são gerados 2 tipos de gráficos para cada população do conjunto de dados analisados. Um gráfico de barras contendo as frequências genotípicas observadas como barras em cinza e as frequências genotípicas esperadas sob Equilíbrio de Hardy-Weinberg como barras transparentes com bordas vermelhas sobrepostas as barras anteriores, por fim no eixo Y encontra-se uma escala de frequência e no X os diferentes genótipos. Também é gerado um segundo gráfico de barras com os valores de frequências alélicas, na forma de barras em cinza e com a escala de frequência no eixo Y e os alelos no eixo X.

\subsection{\texorpdfstring{Página de ajuda da função}{Pagina de ajuda da funao}}
\label{sec:pagina_de_ajuda_da_funao}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


genpop                package: -                R Documentation

Realiza o Teste de X^2 de Aderência para determinar se uma ou mais populações encontram-se em Equilíbrio de Hardy-Weinberg e alternativamente calcula o Índice de Fixação (FIT, FST e FIS). Além disso, produz gráficos das frequências genotípicas observadas e esperadas, bem como das frequências alélicas.

Description:

Testa se diferentes populações encontram-se em Equilíbrio de Hardy-Weinberg pelo teste de X^2 de Aderência, comparando o p-valor calculado a um nível de significância do teste estipulado pelo usuário ou calcula o Índice de Fixação, em seus componentes FIT, FST e FIS. A partir de uma tabela (classe: data.frame) contendo frequências genotípicas observadas de um gene bialélico e tamanho populacional para diferentes populações ou de uma tabela (classe: data.frame) contendo o genótipo e a população a que cada indivíduo pertence.

Usage:

genpop(dados, modo="ehw", alfa=0.05, input="freq", graphics="on")

Arguments:

dados		um objeto da classe “data.frame" contendo nas linhas as populações (quantas forem necessárias) e nas colunas as frequências (valor numérico entre 0 e 1) genotípicas observadas de um gene bialélico (3 colunas = 2 homozigotos + 1 heterozigoto), seguidas de uma coluna contendo o tamanho populacional de cada população (totalizando 4 colunas), neste caso deve-se utilizar o argumento input = "freq"; Ou um objeto da classe "data.frame" contendo nas linhas os indivíduos (quantos forem necessários) e nas colunas o genótipo do indivíduo e a população a que este pertence (totalizando 2 colunas). Ver a seção 'Examples' desta documentação da função para exemplos de objetos de entrada.

modo 		uma “string" de caracteres específica que condiciona o modo de funcionamento da função; modo = “ehw" determina que a função irá testar se a(s) população(ões) encontram-se em Equilíbrio de Hardy-Weinberg; modo = “fit": determina que a função irá calcular o índice de fixação nas suas porções FIS, FST e FIT.

alfa		um valor númerico indicando a significância do teste estatístico a ser realizado; É desconsiderado no modo “fit".

input		uma “string" de caracteres que especifica o tipo de arquivo de entrada usado na função; input = "freq" quando o objeto de entrada é o padrão da função, com valores de frequências genotípicas e tamanho populacional para cada população; input = "raw" quando o objeto de entrada contem apenas a informação sobre o genótipo e a população de cada indivíduo.

graphics	uma “string" de caracteres que determina se serão construídos gráficos das frequências genotípicas observadas e esperadas, assim como das frequências alélicas; graphics = "on" para que os gráficos sejam gerados; graphics = "off" para que os gráficos não sejam gerados.

Value:

Em seu uso padrão, argumento modo = "ehw", a função produz uma tabela (classe: data.frame) com as populações nas linhas e nas colunas os valores de indivíduos observados e esperados sobre EHW para cada genótipo, bem como os valores de X^2 calculados, p-valor e o resultado de um teste lógico, que compara o p-valor estimado para cada população com o nível de significância do teste estipulado pelo usuário através do argumento "alfa". Quando o p-valor (P[X ≤ x]) é menor do que 1 - "alfa", o teste retorna o valor TRUE na coluna EHW, indicando que a população está em EHW.

A segunda funcionalidade, argumento modo = "fit", gera uma tabela (classe: data.frame) contendo 3 colunas, uma para cada índice (FIT, FST e FIS) e apenas uma linha com os valores dos índices calculados.

Em ambos os modos, dado o argumento 'graphics' = "on", são gerados 2 tipos de gráficos para cada população do conjunto de dados analisados. Um gráfico de barras contendo as frequências genotípicas observadas como barras em cinza e as frequências genotípicas esperadas sob Equilíbrio de Hardy-Weinberg como barras transparentes com bordas vermelhas sobrepostas as barras anteriores, por fim no eixo Y encontra-se uma escala de frequência e no X os diferentes genótipos. Também é gerado um segundo gráfico de barras com os valores de frequências alélicas, na forma de barras em cinza e com a escala de frequência no eixo Y e os alelos no eixo X.

Warning:

A função emite mensagens de erro nas seguintes situações: quando pelo menos um valor das frequências genotípicas observadas não está contido no intervalo de 0 a 1; se pelo menos um valor de tamanho populacional não é maior do que 0; se houver qualquer valor faltante (NA) no objeto inserido no argumento 'dados'; se a string de caracteres fornecida para o argumento 'modo' é diferente de "ehw" e "fit"; quando o valor fornecido ao argumento 'alfa' não está contido no intervalo de 0 a 1; se o objeto inserido no argumento 'dados' não é um data.frame; a função também retorna uma mensagem (Warning message) quando o argumento graphics = "off", avisando que os gráficos estão desativados.
 
Note:

Atentar para o fato de que os objetos de entrada devem ser objetos da classe "data.frame", com a formatação descrita na seção 'Arguments' desta documentação e evitando os erros mais comuns descritos na seção 'Warning' desta documentação, para que a função opere corretamente. Por isso recomenda-se realizar previamente uma análise exploratória dos dados de modo a encontrar, corrigir ou omitir os erros e dados faltantes para que a função possa ser utilizada.

Para tornar possível visualizar os gráficos gerados recomenda-se utilizar o software RStudio (https://www.rstudio.com/), navegando através dos gráficos pela aba 'Plots' da interface gráfica do mesmo. Caso contrário é necessário alterar os parâmetros da construção de gráficos para permitir que todos os gráficos sejam gerados sem sobreposição em um único dispositivo gráfico, por exemplo através do argumento 'mfrow' da função 'par' (ver seção 'Examples' desta documentação). Entretanto, para um número elevado de populações recomenda-se particionar o conjunto de dados em porções menores de populações para a entrada na função e criação dos gráficos. É interessante também criar um dispositivo gráfico de vizualização através da função 'X11' e maximizar a janela criada antes de plotar os gráficos, de modo que a utilização do espaço seja otimizada e evite a sobreposição dos elementos gráficos.

Author(s):

Marcos Araújo Castro e Silva
macsilva@usp.br

São Paulo, 23 de Junho de 2017.

References:

RIDLEY, M (2006). Evolution. Oxford: Blackwell Science Ltd. 752 p.

See Also:

Funcoes: X11(), par().

Examples:

## Input padrão:
pops=c("Esquimós","Aborígenes Australianos","Egípcios","Alemães","Chineses","Nigerianos") # Cria um vetor com o nome das populações.
MM=c(0.835,0.024,0.278,0.297,0.332,0.301) # Cria um vetor com os valores de frequências do genótipo MM para cada população.
Mm=c(0.156,0.304,0.489,0.507,0.486,0.495) # Cria um vetor com os valores de frequências do genótipo Mm para cada população.
mm=c(0.009,0.672,0.233,0.196,0.182,0.204) # Cria um vetor com os valores de frequências do genótipo mm para cada população.
n=c(rep(1000,6)) # Cria um vetor contendo valores de tamanho populacional para cada população, nesse caso todas as populações possuem 1000 indivíduos.
humans=data.frame(MM,Mm,mm,n) # Cria um objeto contendo o data frame com as frequências genotípicas.
rownames(humans)=pops # Renomeia as linhas com os nomes das populações contidos no objeto pops.
rm(pops, MM, Mm, mm, n) # Remove os objetos usados para criar o dataframe de exemplo.

x11() # Cria um dispositivo gráfico de visualização. MAXIMIZE A JANELA ANTES DE PLOTAR OS GRÁFICOS, assim você evita a sobreposição de elementos gráficos, conforme discutido na seção 'Notes' da documentação.
par(mfrow=c(4,3)) # Altera os parâmetros gráficos, para permitir a criação de 12 gráficos no dispositivo gráfico (4 linhas e 3 colunas).
genpop(humans) # Utiliza a função 'genpop' sobre o objeto 'humans', com os argumentos padrões da função (genpop(dados, modo="ehw", alfa=0.05, input="freq", graphics="on")). 
par(mfrow=c(1,1)) # Retorna ao padrão os parâmetros gráficos.

genpop(humans, graphics = "off") # Utiliza a função com a criação de gráficos desabilitada.

genpop(humans, alfa = 0.1) # Utiliza a função com o nível de significância para o teste de X^2 (argumento alfa) igual a 0.1.

genpop(humans, modo = "fit") # Utiliza a função no modo de cálculo do Índice de fixação.

## Input bruto:
Pop1 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 1000, replace=TRUE, prob=c(0.3, 0.5, 0.2)) # Cria vetores contendo cada um dos genótipos (AA, Aa, aa), amostrados com as probabilidades definidas pelo argumento prob.  
Pop2 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 500, replace=TRUE, prob=c(0.7, 0.15, 0.15)) 
Pop3 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 650, replace=TRUE, prob=c(0.3, 0.45, 0.25))
Pop4 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 2000, replace=TRUE, prob=c(0.2, 0.6, 0.2))
Pop5 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 850, replace=TRUE, prob=c(0.05, 0.9, 0.05))
Pop6 <- sample(c("AA","Aa","aa"), 5000, replace=TRUE, prob=c(0.3, 0.6, 0.1))
alleles=c(Pop1,Pop2,Pop3,Pop4,Pop5,Pop6) # Cria um vetor a partir da concatenação dos vetores criados anteriormente.
alleles=data.frame(gen=alleles, pop=rep(paste("Pop",c(1:6),sep=""), times=c(1000,500,650,2000,850,5000))) # Cria um data.frame a partir do vetor 'alleles' e de um vetor contendo a população a que cada indivíduo pertence.
rm(Pop1,Pop2,Pop3,Pop4,Pop5,Pop6) # Remove os objetos usados para criar o dataframe de exemplo.


genpop(alleles, input = "raw") # Utiliza a função 'genpop' sobre o objeto 'alleles', com os argumentos padrões da função, exceto o argumento input = "raw", aqui utilizado pelo natureza do objeto de entrada.

genpop(alleles, modo = "fit", input = "raw") # Utiliza a função no modo de cálculo de Índice de fixação.

\end{lstlisting}



\subsection{\texorpdfstring{Código da função}{Codigo da funao}}
\label{sec:codigo_da_funao}
\lstset{frame=single}
\begin{lstlisting}


genpop=function(dados, modo="ehw", alfa=0.05, input="freq", graphics="on"){ # Uso básico da função com os parâmetros definidos.
  ##### PADRONIZANDO INPUTS BRUTOS:
  ### Produzindo uma tabela (classe="data.frame") com dados de frequências genotípicas e tamanho populacional, no caso do argumento 'input' = "raw":
  if(input=="raw"){ # Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'input' é igual a "raw". Transformando a informação dos genótipos de indivíduos e atribuição a populações, em um data.frame de entrada padrão da função.
    dados=as.data.frame(cbind(t(table(dados)), n=apply(t(table(dados)), 1, sum))) # Criando um data.frame com o número de indivíduos de cada genótipo nas 3 primeiras colunas e o tamanho populacional (n) na quarta e última coluna. Em cada linha é colocada uma população.
    dados[,c(1:3)]=dados[,c(1:3)]/dados[,c(4)] # Transformando os valores de número de indivíduos por genótipo em frequências genotípicas. O que é feito através da divisão do número de indivíduos de cada genótipo, pelo tamanho populacional de cada população.
  }
  ##### TESTANDO OS INPUTS:
  ### Testando as entradas da função por meio de controle de fluxo, para alguns problemas mais gerais e caso eles ocorram emitindo algumas mensagens de erro específicas.
  if(modo!="fit" & modo!="ehw"){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função se a string de caracteres fornecida ao argumento 'modo' não é uma das opções válidas (e. g. "ehw" e "fit").
    stop("Erro: Por favor forneça uma das opções válidas para o argumento 'modo': ehw ou fit") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  if(0>alfa | 1<alfa){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função quando o valor fornecido ao argumento 'alfa' não está contido no intervalo de 0 a 1.
    stop("Erro: O valor fornecido ao argumento 'alfa' deve estar contido no intervalo de 0 a 1") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  if(!is.data.frame(dados)){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função quando o objeto fornecido ao argumento 'dados' não é um data.frame.
    stop("Erro: O objeto inserido no argumento 'dados' não é um dataframe") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  if(sum(is.na(dados))>=1){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função se o objeto fornecido ao argumento 'dados' contem algum dado faltante (NA).
    stop("Erro: Existe pelo menos um dado faltante (NA) no objeto inserido no argumento 'dados'") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  if(sum(dados[,c(1:3)]<0 | dados[,c(1:3)]>1)>=1){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função se pelo menos um dos valores de frequências genotípicas não está contido no intervalo de 0 a 1.
    stop("Erro: Existe pelo menos um valor de frequência genotípica que não está contido no intervalo de 0 a 1") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  if(sum(dados[,4]<0)>=1){ # Controle de fluxo que interrompe a execução da função se pelo menos um dos valores de tamanho populacional é menor ou igual a 0.
    stop("Erro: Existe pelo menos um valor de tamanho populacional que não é maior do que 0") # Interrope a função e emite a mensagem de erro entre aspas, caso a condição anterior do controle de fluxo se cumpra.
  }
  ##### CÁLCULOS BÁSICOS E COMPARTILHADOS ENTRE OS MODOS DE FUNÇÃO:
  if(input=="freq" | input=="raw"){ # Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'input' é igual a "freq" e a "raw". Na prática o código é executado deste ponto em diante para ambos os argumentos válidos do argumento 'input'.
    ### Transformando frequências genotípicas em valores absolutos de contagem de indivíduos:
    pops=length(dados[,1]) # Cria um objeto contendo um valor inteiro, representando o número de linhas (e portanto de populações) no objeto de entrada 'dados'. 
    ngo=data.frame(rep(NA, pops), rep(NA, pops), rep(NA, pops)) # Cria um data.frame contendo apenas valores NA, para ser preenchido com os valores de número de indivíduos observados para cada genótipo (nas colunas 1, 2 e 3), para cada população (nas linhas).
    for (l in 1:pops){ # Cria um loop com um contador 'l', que irá ciclar de 1 até o valor armazenado no objeto 'pops'.
      for (c in 1:3){ # Cria um loop com um contador 'c' que irá ciclar nas 3 primeiras colunas do objeto 'dados'.
        ngo[l,c]=dados[l,c]*dados[l,4] # Cria um data.frame contendo um valor inteiro, representando valores de contagem de indivíduos para cada genótipo, para cada população. Através da multiplicação dos valores de frequência pelo tamanho populacional de cada população. 
      }
    }
    ### Cálculo de p e q (frequências dos alelos 1 e 2):
    af=data.frame(p=rep(NA, pops), q=rep(NA, pops)) # Cria um data.frame contendo apenas valores NA, para ser preenchido com os valores de frequência de cada alelo p e q (nas colunas 1 e 2), para cada população (nas linhas).
    for (l in 1:pops){ # Cria um loop com um contador 'l', que irá ciclar de 1 até o valor armazenado no objeto 'pops'.
      p=(ngo[l,1]*2+ngo[l,2])/(dados[l,4]*2) # Calcula o valor da frequência do alelo 1 (p) para a população da linha "l" e atribui ao objeto 'p'. O calculo é o seguinte: (2 * nº de indivíduos homozigotos para o alelo 1 da população "l" + nº de indivíduos heterozigotos da população "l") / (2 * o tamanho populacional da população "l").
      q=1-p # Calcula o valor da frequência do alelo 2 (q) para a população da linha "l" e atribui ao objeto 'q'.
      af[l,1]=p # Adiciona 'p' a posição localizada na linha "l" e coluna 1 do objeto 'af'.
      af[l,2]=q # Adiciona 'q' a posição localizada na linha "l" e coluna 2 do objeto 'af'.
    }
    ### Cálculo das frequências genotípicas esperadas:
    nge=data.frame(rep(NA, pops), rep(NA, pops), rep(NA, pops)) # Cria um data.frame contendo apenas valores NA, para ser preenchido com os valores de número de indivíduos esperados sob Equilíbrio de Hardy-Weinberg para cada genótipo (nas colunas 1, 2 e 3), para cada população (nas linhas).
    fge=nge=data.frame(rep(NA, pops), rep(NA, pops), rep(NA, pops)) # Cria um data.frame contendo apenas valores NA, para ser preenchido com os valores de frequências genotípicas esperadas sob Equilíbrio de Hardy-Weinberg (nas colunas 1, 2 e 3), para cada população (nas linhas).
    for (l in 1:pops){ # Cria um loop com um contador 'l', que irá ciclar de 1 até o valor armazenado no objeto 'pops'.
      D=(af[l,1]^2)*dados[l,4] # Calcula o valor de indivíduos homozigotos esperados para o alelo 1, para a população da linha "l" e atribui ao objeto 'D'. O calculo é o seguinte: p² * n, onde "p" é a frequência do alelo 1 e "n" é o tamanho populacional da população "l".
      H=(2*af[l,1]*af[l,2])*dados[l,4] # Calcula o valor de indivíduos heterozigotos esperados, para a população da linha "l" e atribui ao objeto 'H'. O calculo é o seguinte: 2*p*q * n, onde "p" é a frequência do alelo 1, "q" é a frequência do alelo 2 e "n" é o tamanho populacional na população "l".
      R=(af[l,2]^2)*dados[l,4] # Calcula o valor de indivíduos homozigotos esperados para o alelo 2, para a população da linha "l" e atribui ao objeto 'R'. O calculo é o seguinte: q² * n, onde "q" é a frequência do alelo 2 e "n" é o tamanho populacional da população "l".
      nge[l,1]=D # Adiciona 'D' a posição localizada na linha "l" e coluna 1 do objeto 'nge'.
      nge[l,2]=H # Adiciona 'H' a posição localizada na linha "l" e coluna 2 do objeto 'nge'.
      nge[l,3]=R # Adiciona 'R' a posição localizada na linha "l" e coluna 3 do objeto 'nge'.
      fge[l,1]=D/dados[l,4] # Calcula a frequência genotípica esperada de homozigotos do alelo 1, para a população da linha "l" e adiciona o valor a posição localizada na linha "l" e coluna 1 do objeto 'fge'. 
      fge[l,2]=H/dados[l,4] # Calcula a frequência genotípica esperada de heterozigotos, para a população da linha "l" e adiciona o valor a posição localizada na linha "l" e coluna 3 do objeto 'fge'.
      fge[l,3]=R/dados[l,4] # Calcula a frequência genotípica esperada de homozigotos do alelo 2, para a população da linha "l" e adiciona o valor a posição localizada na linha "l" e coluna 3 do objeto 'fge'.
    }
    ##### PRODUZINDO GRÁFICOS:
    ### Produzindo gráficos das frequências genotípicas e alélicas observadas, e genotípicas esperadas sob Equilíbrio de Hardy-Weinberg, para cada população:
    if(graphics=="on"){ # Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'graphics' é igual a "on".
      transparent <- rgb(0, 0, 0, alpha=0) # Cria um objeto contendo uma string de caracteres que designa uma "cor transparente".
      for (i in 1:pops){ # Cria um loop com um contador 'i', que irá ciclar de 1 até o valor armazenado no objeto 'pops'.
        barplot(as.matrix(dados[i,c(1:3)]), col = "grey", ylim = c(0,1), main = paste(rownames(dados[i,])), space = 0, las = 1, cex.axis = 1) # Cria um gráfico de barras, para cada população, contendo os valores de frequências genotípicas observadas.
        barplot(as.matrix(fge[i,c(1:3)]), col = transparent, ylim = c(0,1), main = paste(rownames(dados[i,])), add = T,axes = F, axisnames = F, space = 0, border = "red") # Adiciona aos gráficos criados no passo anterior, as frequências genotípicas esperadas de cada população.
        legend("topright", legend = c("Observado", "Esperado"), col = c("grey", "red"), pch = 15, cex = 1) # Cria uma legenda para as frequências genotípicas observadas ("Observado") e esperadas ("Esperado").
        barplot(as.matrix(af[i,c(1:2)]), col = "grey", ylim = c(0,1), main = paste(rownames(dados[i,])), space = 0, las = 1, cex.axis = 1) # Cria um gráfico de barras, para cada população, com as frequências alélicas (p e q).
      }
    }
    if(graphics=="off"){ # Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'graphics' é igual a "off".
      warning("Os gráficos estão desabilitados") # Emite uma mensagem avisando que a construção de gráficos está desativada.
    }
    ##### MODOS DE OPERAÇÃO DA FUNÇÃO E OUTPUTS:
    if(modo=="ehw"){ # MODO EHW: Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'modo' é igual a "ehw".
      ### Calculando o x² e o p-valor:
      output=data.frame("Obs-11"=rep(NA, pops),"Obs-12"=rep(NA, pops),"Obs-22"=rep(NA, pops), 
                        "Esp-11"=rep(NA, pops),"Esp-12"=rep(NA, pops),"Esp-22"=rep(NA, pops), 
                        "x^2"=rep(NA, pops), "p-valor"=rep(NA, pops), "EHW"=rep(NA, pops)) # Cria um data.frame contendo apenas valores NA, para ser preenchido com o número de indivíduos observados, esperados, qui-quadrado calculado, p-valor e um valor lógico dizendo se a população está ou não em EHW.
      rownames(output)=rownames(dados) # Atribui ao objeto 'output' os nomes das linhas do objeto 'dados', os quais são os nomes das populações originais.
      x2=c() # Cria um vetor vazio, para conter temporariamente os valores de qui-quadrado, a ser usado no loop a seguir.
      for (l in 1:pops){ # Cria um loop com um contador 'l', que irá ciclar de 1 até o valor armazenado no objeto 'pops'.
        for (c in 1:3){ # Cria um loop com um contador 'c', que irá ciclar de 1 a 3.
          output[l,c]=ngo[l,c] # Atribui o número de indivíduos observados para cada genótipo ("c"), em cada população ("l"), contidos no objeto 'ngo' às posições "l" x "c" do objeto 'output'.
          output[l,c+3]=nge[l,c] # Atribui o número de indivíduos esperados sob EHW para cada genótipo ("c"), em cada população ("l"), contidos no objeto 'ngo' às posições "l" x ("c"+ 3) do objeto 'output'.
          x2[c]=((output[l,c]-output[l,c+3])^2)/output[l,c+3] # Faz o cálculo de x² para cada população e armazena no vetor 'x2' em cada posição "c". O cálculo de x² de aderência é feito por ((Nº Observado - Nº esperado)^2/Nº esperado), para cada genótipo, em cada uma das populações.
          output[l,7]=sum(x2) # O cálculo de x² de aderência total para cada população é dado pelo somatório dos valores de x² encontrados para cada genótipo.
          output[l,8]=pchisq(output[l,7], df=1) # O p-valor para cada população é estimado a partir do valor de x² calculado também para cada população, com grau de liberdade igual a 1 (argumento 'df').
          output[l,9]=(output[l,8]<1-alfa) # Por fim é realizado um teste lógico, comparando o p-valor estimado para cada população com o valor de significância do teste (argumento 'alfa'), definido pelo usuário. Por padrão o valor de alfa é 0.05.
        }
      }
      return(output) # Retorna o objeto 'output' como saída da função.
    }
    if(modo=="fit"){ # MODO FIT: Controle de fluxo que determina a execução desta porção do código quando o argumento 'modo' é igual a "fit".
      ### Cálculo FIS, FST e FIT:
      HI=sum(ngo[,2])/sum(dados[,4]) # Cálculo da média observada de heterozigotos através da seguinte fórmula: número de heterozigotos observados em cada população / número total de indivíduos. 
      HS=sum(nge[,2])/sum(dados[,4]) # Cálculo da média esperada sob EHW de heterozigotos através da seguinte fórmula: número de heterozigotos esperados em cada população / número total de indivíduos. 
      pmean=sum(af[,1])/pops # Cálculo do valor médio de frequência do alelo 1 entre todas as populações (p médio). O cálculo é feito através da soma dos valores de frequência do alelo 1 (p) em cada população, divida pelo número total de populações.
      qmean=1-pmean # Cálculo do valor médio de frequência do alelo 2 entre todas as populações (q médio). O valor é dado pelo complemento do p médio, ou seja, 1 - p médio.
      HT=2*pmean*qmean # Heterozigosidade esperada para a população como um todo, em outras palavras, quando se considera que todas as populações são na verdade são apenas uma única população maior.
      FIS=(HS-HI)/HS # Calcula o FIS como a redução relativa entre a heterosigosidade esperada média e heterosigosidade observada média em cada população.
      FST=(HT-HS)/HT # Calcula o FST como a redução relativa entre a heterosigosidade esperada na população como um todo e considerando a média das heterosigosidades esperadas para cada subpopulação, considerando-se a estruturação em subpopulações.  
      FIT=(HT-HI)/HT # Calcula o FIT como a redução relativa entre a heterosigosidade esperada na população como um todo e a heterosigosidade observada média em cada população.
      output=data.frame("FIS"=FIS, "FST"=FST, "FIT"=FIT) # Cria um dataframe contendo os valores de FIS, FST, FIT em cada coluna e com os respectivos nomes das colunas.
      rownames(output)="VALORES" # Renomeia a linha contendo os valores com a string de caracteres "VALORES".
      return(output) # Retorna o objeto 'output' como saída da função.
    }
  }
}

\end{lstlisting}



\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}



\subsection{\texorpdfstring{Arquivos da função}{Arquivos da funao}}
\label{sec:arquivos_da_funao}


\href{media/bie5782/01_curso_atual/alunos/trabalho_final/macsilva/genpop.r}{Função genpop()}

\href{media/bie5782/01_curso_atual/alunos/trabalho_final/macsilva/documentation.txt}{Help da função genpop()}

\href{media/bie5782/01_curso_atual/alunos/trabalho_final/macsilva/examples.r}{Arquivo dos exemplos do help}

\end{document}
