ecoR

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  * [[bie5782:01_curso_atual:exercicios7| Exercícios]]
  * [[bie5782:03_apostila:06-modelos| Apostila]]  
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====== 7. Modelos Lineares ====== 

São chamados modelos lineares aqueles que apresentam uma relação entre variáveis que seja **linear nos parâmetros**.  Essa linearidade implica que
**matematicamente** a variação de cada um dos parâmetros é independente dos demais parâmetros do modelo.

Em termos gerais, podemos reconhecer dois grandes grupos clássicos de modelos lineares:
  * **Modelos de Regressão**.
  * **Modelos de Análise de Variância**.


Nesse tópico utlizaremos os arquivos de dados:
  * [[dados:dados-caixeta| Levantamento em caixetais:]] {{:dados:caixeta.csv.pdf|caixeta.csv (apagar extensão .pdf)}}
  * [[dados:dados-esaligna| Dados de biomassa de árvores:]] {{:dados:esaligna.csv.pdf|esaligna.csv (apagar extensão .pdf)}}
  * [[dados:dados-egrandis| Inventário em florestas plantadas:]]{{:dados:egrandis.csv.pdf|egrandis.csv (apagar extensão .pdf)}}
  * [[dados:dados-mudas| Experimento sobre o crescimento de mudas em viveiro.]] {{:dados:altura-mudas.csv.pdf|altura-mudas.csv (apagar extensão .pdf)}}





===== Regressão Linear =====

Os modelos lineares de regressão são utilizados para modelar a relação entre variáveis quantitativas:
  * **Variável Resposta** (//y//): variável quantitativa (também chamada de variável dependente).
  * **Variáveis Preditoras** (//x//): variáveis quantitativas (também chamadas de variáveis independentes).

==== A função 'lm' ====

A função utilizada para construir modelos lineares de regressão é a função '''lm''' que tem os seguintes argumentos principais:
<code>
            lm( formula, data, weights, subset, na.action )
</code>
  * '''formula''' - é uma **fórmula estatística** que indica o modelo a ser ajustado.  Possui a mesma forma básica que foi vista na funções gráficas.
  * '''data''' - o conjunto de dados (''data.frame'').
  * '''weights''' - são os //pesos// para regressão ponderada.
  * '''subset''' - um vetor com as condições que definem um **sub-conjunto** dos dados.
  * '''na.acation''' - função que especifica o que fazer no caso de observações perdidas (''NA'').  O valor default é '''na.omit''' que elimina as linhas (observações) que possuem observações perdidas nas variáveis definidas na fórmula.

Vejamos um exemplo simples:
<code>
> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
> egr[1,]
    especie rot   regiao  inv faz proj talhao parcela arv fuste cap ht hdom
1 E.grandis   1 Botucatu 1995  36   33      1       1   1     1  57 27   NA
    idade carac      dap
1 7.49315     N 18.14366
>
> hipso1 = lm( ht ~ dap, data=egr )
> class(hipso1)
[1] "lm"
>  
</code>



=== Uma Palavra sobre o Argumento 'formula' ===

O argumento fórmula nos modelos lineares é bastante diverso das fórmulas matemáticas usuais.  Nesse argumento, sinais de mais e de menos, símbolos como circunflexo (^) e asterisco (*)  têm significado bastante diferente dos significados usuais matemáticos.

Apresentaremos agora alguns aspectos básicos do argumento:
  * '''y ~ x''' indica: //modele y como **função estatística** de x//;
  * '''y ~ x1 + x2''' indica: //modele y como **função estatística** das variáveis x1 e x2// (efeito aditivo dos modelos lineares);

Se quisermos utilizar os símbolos matemáticos no sentido matemático usual **dentro** de uma fórmula estatística, temos que utilizar
a função '''I()''':
  * ''' y ~ I( x1^2 * x2^3 )''' indica: //modele y como função estatística **da variável** (x1^2 * x2^3)//;
  * ''' y ~ I( x1 / x2 )''' indica: //modele y como função estatística **da variável** (x1/x2)//;

No caso de utilizarmos **funções matemáticas** específicas a função '''I()''' torna-se desnecessária:
  * '''log(y) ~ log(x)''' indica: //modele o **log(y)** com função estatística da variável **log(x))**//;
  * '''log(y) ~ log(x1^2 * x2)''' indica: //modele o **log(y)** com função estatística da variável **log(x1^2 * x2))**//;

Mais detalhes sobre o argumento '''formula''' serão apresentados mais adiante.



=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Relação Diâmetro-Altura em Florestas Plantadas// >
Ajuste um modelo de regressão linear simples da altura (''ht'') em função do DAP (''dap'') das árvores de floresta plantada
([[:dados:dados-egrandis]]) para cada uma das rotações (''rot'').
</box>


<box 100% left red | //**Exercício:** Equação de Biomassa para Árvores de Eucalyptus saligna// >
Utilizando o conjunto de dados de //E. Saligna// ([[:dados:dados-esaligna]]), construa um modelo de regressão da biomassa do tronco das árvores (''tronco''') em função do diâmetro (''dap'') e altura (''ht''), utizando dois modelos:
$$b_i = \beta_0 + \beta_1 (d_i^2\, h_i) + \varepsilon_i$$

e

$$\ln( b_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \beta_2 \ln(h_i) + \varepsilon_i$$


onde:
  * b_i é biomassa do tronco;
  * d_i é o DAP da árvore;
  * h_i é a altura toral da árvore;

</box>

==== Funções que Atuam sobre Objetos 'lm' ====

O objeto produzido pela função '''lm''' tem classe '''lm''' (//linear model//), ou seja é um modelo linear.  Como modelo linear, esse objeto receberá tratamento particular se utilizarmos algumas funções básicas sobre ele.

  * **summary:** a função '''summary''' apresenta um resumo do modelo linear com:
          - estatísticas descritivas dos resíduos;
          - teste //t// dos coeficientes de regressão;
          - erro padrão da estimativa;
          - coeficiente de determinação e coef. de det. ajustado;
          - teste //F// geral do modelo.
<code>
> summary( hipso1 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.9306  -2.1109  -0.5408   1.6642  20.9390

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.79604    0.12120   6.568 5.63e-11 ***
dap          1.27232    0.01006 126.459  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 3.093 on 4800 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7691,     Adjusted R-squared: 0.7691
F-statistic: 1.599e+04 on 1 and 4800 DF,  p-value: < 2.2e-16
</code>

  * **anova:** a função '''anova''' apresenta a Tabela de análise de variância, tendo as variáveis preditoras como fatores:
<code>
> anova( hipso1 )
Analysis of Variance Table

Response: ht
            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
dap          1 153020  153020   15992 < 2.2e-16 ***
Residuals 4800  45929      10
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
</code>

  * **plot:** a função '''plot''' apresenta uma série de gráficos para análise do modelo.  Ela possui o argumento '''which''' que define quais dos seis gráficos pré-definidos se deseja ver:

^ which ^ O que a função faz ^ Verificação do modelo ^
| ''which=1'' | gráfico de dispersão resíduo versus valor ajustado | Linearidade na relação x-y |
| ''which=2'' | gráfico quantil-quantil normal dos resíduos | Normalidade |
| ''which=3'' | gráfico de dispersão da raiz quadrada do valor absoluto do resíduo padronizado versus valor ajustado | Homogeneidade de variâncias |
| ''which=4'' | distância de Cook por observação | Observações influentes |
| ''which=5'' | gráfico de dispersão do resíduo padronizado versus //leverage// (medida de influência) , com a distância de Cook | Observações influentes |
| ''which=6'' | gráfico de dispersão da distância de Cook versus //leverage// (medida de influência) | Observações influentes |


O valor default do argumento ''which'' é '''which = c(1:3, 5)'''.
<code>
> plot( hipso1 )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 
</code>

  * **coef:**  a função '''coef''' retorna os coeficientes de regressão do modelo linear:
<code>
> coef( hipso1 )
(Intercept)         dap
  0.7960402   1.2723242
> 
</code>

 * **residuals:** a função '''residuals''' (também pode ser evocada por '''resid''') retorna os resíduos do modelo linear.
 * **fitted:** a função '''fitted''' (também pode ser evocada por '''fitted.values''') retorna os //valores ajustados// do modelo linear.
<code>
> plot( resid( hipso1 ) ~ fitted( hipso1 ) )
</code>

 * **predict:** a função '''predict''' retorna os valores //preditos// para novas observações:
<code>
> predict( hipso1, data.frame( dap=c(10,50,100) ) )
        1         2         3
 13.51928  64.41225 128.02846
>
> predict( hipso1, data.frame( dap=range(egr$dap) ) )
        1         2
 6.060955 38.055431
>       
</code>


=== Exercícios ===


<box 100% left red | //**Exercício:** Analisando os Modelos de Regressão// >
Utilizando as funções apresentadas acima analise os modelos de regressão construídos nos exercícios anteriores com relação a:
  - adequação das pressuposições dos modelos lineares;
  - significância das estimativas dos coeficientes de regressão;
  - qualidade dos modelos para uso em predições.
</box>

<box 100% left red | //**Exercício:** Realizando Predições// >
Considere as árvores da tabela abaixo:

^ Árvore ^ DAP ^ Altura ^
| 1 | 10 cm | 12 m |
| 2 | 20 cm | 25 m |
| 3 | 30 cm | 40 m |

Faça a predição da biomassa do tronco das árvores com base nos dois modelos de equação de biomassa ajustados.
</box>





==== Regressão Ponderada ====

A regressão ponderada é utilizada para corrigir o problema de heterogeneidade de variâncias.

Consideremos o exercício do modelo de equação de biomassa do tronco em função do diâmetro e altura.  O modelo original apresenta claramente
problemas com a pressuposição de homogeneidade de variâncias:
<code>
> esa = read.csv("esaligna.csv",header=T)
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2 * ht), data=esa ) , which=c(1,3) )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>
</code>

Se o modelo for ponderado por uma potência do inverso da variável preditora ( ''1/(dap^2 * ht)'' ), talvez se torne um modelo com variância homogênea.
<code>

> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0.5 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^1 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^2 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^3 ), which=3 )
>
</code>

Qual dos valores de potência (0.5; 0; 1; 2; 3) lhe parece mais adequado?

=== Exercícios ===


<box left red | //**Exercício:** Modelos de Biomassa para Eucalyptus saligna// >
Utilizando o mesmo modelo do exemplo acima, ajuste modelos de equação de biomassa para
  - **biomassa total** (''total'') e
  - **biomassa de ramos** (''sobra''),
de modo que os modelos não possuam problema de heterogeneidade de variância.
</box>

==== Variável Factor como Variável Indicadora (dummy) ====

Uma forma de incluirmos variáveis categóricas em modelos de regressão é através do uso de **variáveis indicadoras**.  Para isso, as variáveis categóricas no R devem ser vistas como uma variável '''factor'''.

A variável '''factor''' indica uma variável que possui **níveis** (''levels'') sendo, portanto, uma variável categórica típica dos modelos estatísticos.   

Esse tipo de variável existe no R para tornar mais fácil a modelagem estatística.  Assim, quando o R lê um conjunto de dados e encontra uma
variável **alfa-numérica**, ele automaticamente assume que se trata de uma variável '''factor'''.

Vejamos como exemplo os dados de inventário floresta em floresta plantada:
<code>
> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
>
> names(egr)
 [1] "especie" "rot"     "regiao"  "inv"     "faz"     "proj"    "talhao"
 [8] "parcela" "arv"     "fuste"   "cap"     "ht"      "hdom"    "idade"
[15] "carac"   "dap"
> 
> class( egr$regiao )
[1] "factor"
> class( egr$especie )
[1] "factor"
> class( egr$rot )
[1] "integer"
> class( egr$faz )
[1] "integer"
>
</code>

Note que as variáveis '''regiao'' e '''especie''' foram assumias como '''factor'''.

Note também que as variáveis '''rot''' (rotação) e '''faz''' (fazenda) embora também sejam variáveis categóricas, elas foram codificadas por números inteiros e, consequentemente, o R assumiu tratar-se de variáveis quantitativas.

Nos **modelos lineares de regressão**, as variáveis '''factor''' podem ser assumidas automaticamente como variáveis indicadoras (variáveis dummy).
<code>
> hipso2 = lm( ht ~ dap + regiao, data=egr )
> summary( hipso2 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap + regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-10.6196  -1.6235  -0.3575   1.2476  19.5109

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     5.079650   0.145714   34.86   <2e-16 ***
dap             1.116119   0.009403  118.70   <2e-16 ***
regiaoBotucatu -3.627353   0.100221  -36.19   <2e-16 ***
regiaoItatinga -3.827592   0.100715  -38.00   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.647 on 4798 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.831,      Adjusted R-squared: 0.8309
F-statistic:  7866 on 3 and 4798 DF,  p-value: < 2.2e-16
</code>

Nesse caso ('''ht ~ dap + regiao''') a variável região entrou alterando o **intercepto** da regressão entre altura (''ht'') e diâmetro (''dap'').

Note que além do coeficiente de inclinação para variável '''dap''' aparecem coeficientes de regressão associados às variáveis '''regiaoBotucatu''' e  '''regiaoItatinga'''.  O que significa isso?

O modelo ajustado pela fórmula '''ht ~ dap + regiao''' é:


$$h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 I_{\textrm{Botucatu}} + \beta_3 I_{\text{Itatinga}} + \varepsilon_i$$


onde:
  * ''h_i'' é a altura das árvores;
  * ''d_i'' é o DAP das árvores;
  * ''I_{\textrm{Botucatu}}'' é a variável indicadora para região Botucatu, isto é, ela tem valor **1** se a região for Botucatu e valor **0** (zero) se a região não for Botucatu;
  * ''I_{\textrm{Itatinga}}'' é a variável indicadora para região Itatinga.

A variável região tem três níveis (''levels'')
<code>
> levels(egr$regiao)
[1] "Bofete"   "Botucatu" "Itatinga"
>                                         
</code>
O R cria automaticamente 2 variáveis indicadoras, uma para Botucatu e outra para Itatinga, pois a região de Bofete (primeiro nível do fator) é assumida como o //default//.

Como se utiliza o modelo para predição?
  * Para Bofete a predição é:  ''\widehat{h}_i = \beta_0 + \beta_2 d_i''
  * Para Botucatu a predição é: ''\widehat{h}_i = (\beta_0 + \beta_3) + \beta_2 d_i''
  * Para Itatinga a predição é: ''\widehat{h}_i = (\beta_0 + \beta_4) + \beta_2 d_i''


É possível ajustar um **modelo de interação completo** do diâmetro com a variável região, alterando o //intercepto// **e** a //inclinação// do modelo em cada regiões:
<code>
> 
> hipso3 = lm( ht ~ dap * regiao, data=egr )
> summary( hipso3 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap * regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.8439  -1.5492  -0.2357   1.2582  19.3736

Coefficients:
                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)         7.99813    0.20736  38.570  < 2e-16 ***
dap                 0.90370    0.01436  62.935  < 2e-16 ***
regiaoBotucatu     -9.03699    0.25969 -34.799  < 2e-16 ***
regiaoItatinga     -5.74018    0.29200 -19.658  < 2e-16 ***
dap:regiaoBotucatu  0.45060    0.01981  22.750  < 2e-16 ***
dap:regiaoItatinga  0.10746    0.02503   4.293 1.80e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.508 on 4796 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.8484,     Adjusted R-squared: 0.8483
F-statistic:  5369 on 5 and 4796 DF,  p-value: < 2.2e-16

</code>


Note que se quisermos usar uma variável como indicadora, mas ela foi codificada como variável numérica, teremos que **forçar** sua transformação em
variável '''factor''':
<code>
 coef( lm( ht ~ dap * rot, data = egr ) )
 (Intercept)          dap          rot      dap:rot
 3.790676759  1.206524873 -1.556650365  0.004740839
>
>
> coef( lm( ht ~ dap * as.factor(rot) , data = egr ) )
        (Intercept)                 dap     as.factor(rot)2 dap:as.factor(rot)2
        2.234026394         1.211265712        -1.556650365         0.004740839
</code>



=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Altura das Árvores Dominantes em Floresta Plantada// >
Considere o seguinte modelo (//modelo de Schumacher//):


$$\ln( y_i ) = \beta_0 + \beta_1 (1/x_i) + \varepsilon_i$$


Ajuste esse modelo de regressão à altura das árvores dominantes (''hdom'') em função da idade (''idade'') das árvores da floresta plantada ([[:dados:dados-egrandis]]).

Compare um modelo geral (ajustado a todos os dados) com um modelo ajustado por região.

Compare os resíduos do modelo geral com os resíduos do modelo por região, analisando **a distribuição do resíduo por região**.

</box>



<box 100% left red | //**Exercício:** Relação Altura-Diâmetro de Árvores de Caixeta// >

Ajuste modelos de regressão linear da altura ('''h''') em função do diâmetro ('''dap''') **somente para árvores de caixeta** (//Tabebuia cassinoides//) nos diferentes caixetais ('''local''').

Considere nessa tarefa os seguintes modelos:

  * **Modelo A:**   $ h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \varepsilon_i$
  * **Modelo B:**   $ \ln( h_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \varepsilon_i$
  * **Modelo C:**   $ h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 d_i^2 + \varepsilon_i$

</box>




===== Análise de Variância =====


Os objetivos dos modelos lineares de análise de variância são bem diferentes dos modelos lineares de regressão.  Nos modelos de regressão a questão central é estimar parâmetros, seja para explicar relações, seja para fazer predições.

Nos modelos de análise de variância a questão é comparar a importância de **fatores** sobre o comportamento da variável resposta.

==== Experimento em Blocos Casualizados ====

Tomemos como exemplo os dados do experimento de mudas no viveiro ([[dados:dados-mudas|]]).  Nesse experimento temos os seguintes fatores:
  * Espécie ('''especie'''),
  * Bloco ('''bloco'''), e
  * Substrato ('''substrato''').

O experimento deseja saber se existe diferença entre os substratos no crescimento em altura ('''altura''') das mudas.  O delineamento foi em blocos casualizados ('''bloco''').

Para visualizar esse experimento podemos ler os dados do arquivo {{:dados:altura-mudas.csv.pdf|altura-mudas.csv (apagar extensão .pdf)}}, através da função '''plot''':
<code>
> 
> mudas = read.csv("dados/altura-mudas.csv",header=T)
> summary(mudas)
     especie       bloco       substrato        altura
 paineira:60   Min.   :1.0   Min.   : 1.0   Min.   : 15.40
 tamboril:60   1st Qu.:2.0   1st Qu.: 3.0   1st Qu.: 32.21
               Median :3.5   Median : 5.5   Median : 46.00
               Mean   :3.5   Mean   : 5.5   Mean   : 49.20
               3rd Qu.:5.0   3rd Qu.: 8.0   3rd Qu.: 65.00
               Max.   :6.0   Max.   :10.0   Max.   :105.12
> 
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="paineira")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="tamboril")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>
</code>







Para ajustar um modelo linear num experimento, podemos utilizar a função '''lm''' como no caso da regressão linear:
<code>
> muda.pai = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="paineira" )
> class(muda.pai)
[1] "lm"
>
> muda.tam = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="tamboril" )
> class(muda.tam)
[1] "lm"
>    
</code>

Para analisar as pressuposições do modelo utilizamos a função '''plot''', da mesma forma que se faz na regressão linear.

Sendo um experimento, o interesse principal é verificar a importância dos **fatores**: os tratamentos ('''substrato''') e os blocos ('''bloco''').  Para isso utilizamos a função '''anova''':
<code>
> anova( muda.pai )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5  3822.1   764.4  13.664 4.016e-08 ***
as.factor(substrato)  9 27204.4  3022.7  54.030 < 2.2e-16 ***
Residuals            45  2517.5    55.9
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
> anova( muda.tam )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5 2582.6   516.5  5.1933 0.0007594 ***
as.factor(substrato)  9 9181.3  1020.1 10.2570 2.177e-08 ***
Residuals            45 4475.6    99.5
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>          
</code>




=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Altura dos Caixetais // >
Verifique se existe diferenças estatísticamente significativas na **altura média** dos caixetais ({{:dados:caixeta.csv.pdf|caixeta.csv (apagar extensão .pdf)}}).

Será que os caixetais diferem em termos de **altura máxima** ou **área basal**?
</box>


==== Outros Delineamentos Experimentais ====


Considere o experimento de mudas de espécies arbóreas.  Se ao invés de trabalhar com a **espécie** em duas análises separadas, houvesse interesse em fazer uma análise conjunta das duas espécies, verificando a interação entre espécie e substrato.

Nesse caso, o experimento se torna um **experimento fatorial 2 x 10**:
<code>
> 
> muda.sp = lm( altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato), data=mudas )
> anova(muda.sp)
Analysis of Variance Table

Response: altura
                             Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)              5   3956     791  7.9598 2.673e-06 ***
especie                       1   3183    3183 32.0265 1.606e-07 ***
as.factor(substrato)          9  32910    3657 36.7909 < 2.2e-16 ***
especie:as.factor(substrato)  9   3476     386  3.8853 0.0003163 ***
Residuals                    95   9442      99
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                                
</code>


No que a fórmula para o experimento é apresentada de modo diferente:
<code>
          altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato)

</code>

O elemento ** especie * as.factor(substrato) ** inclui todos os efeitos ligados a interação entre espécie e substrato, e que aparecem na tabela de análise de variância:
  * **especie** (com 1 grau de liberdade) se refere ao **efeito principal** da espécie;
  * **as.factor(substrato)** (com 9 graus de liberdade) se refere ao **efeito principal** do substrato;
  * **especie:as.factor(substrato)** (com 9 graus de liberdade) se refere à **interação** espécie ''x'' substrato.

O elemento chave nessa fórmula é o asterisco (** * **) que representa todos os efeitos ligados a interação entre dois fatores.  Como foi dito, na fórmula estatística os sinais convencionais de operações matemáticas tem outro significado.  A tabela abaixo detalha os símbolos utilizados para definir diferentes delineamentos experimentais.

<box 100% center orange | **Símbolos utilizados nas Fórmulas Estatísticas para definir diferentes Delineamentos Experimentais**>
^ Expressão ^ Significado ^
| //Y ~ X// | Modele //Y// como função estatística de //X// |
| //A + B// | inclui ambos os fatores //A// e //B// |
| //A - B// | inclui todos os efeitos em //A//, exceto os que estão em //B// |
| //A * B// | //A + B + A:B// |
| //A / B// | //A + B %in% (A)// modelos hierárquicos |
| //A:B// | efeito da interação entre os fatores //A// e //B// |
| //B %in% A// | efeitos de //B// dentro dos níveis de //A// |
| //A^m// | todos os termos de //A// cruzados até à ordem //m// | 
</box>

Aliadas a esses símbolos, o R possui uma série de funções que permitem a análise de virtualmente qualquer delineamento experimental.  Esse tópico requer, no entanto, um curso específico de análise experimental utilizando o R, e vai muito além do objetivo desse curso introdutório.



=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas I // >
Utilizando os dados de árvores de floresta plantada ([[dados:dados-egrandis]]), tome a altura média das árvores dominantes (média de '''hdom''' por '''parcela''') como variável resposta e verifique a influência dos fatores: região ('''regiao''') e rotação ('''rot''').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de **interação** ou **hierárquica**? 
</box>



<box 100% left red | //**Exercício:** Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas II // >
Utilizando os dados de árvores de floresta plantada ([[dados:dados-egrandis]]), tome a altura média das árvores dominantes (média de '''hdom''' por '''parcela''') como variável resposta  e verifique a influência dos fatores: região ('''regiao''') e projeto ('''proj''').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de **interação** ou **hierárquica**? 
</box>

==== Explorando a Interação entre Fatores ====

Freqüentemente, a interpretação da **interação** entre dois ou mais fatores é espinhosa e chegar a conclusões baseado apenas na tabela de análise de variância pode gerar equívocos.  Uma análise gráfica de interações é sempre instrutiva.

Existe no R a função '''interaction.plot''' que permite construir gráficos de interação entre fatores que facilitam a interpretação dos resultados estatístico.  Seus argumentos principais são:
<code>
                     function (x.factor, trace.factor, response, fun = mean )
</code>
  * **x.factor** é o fator que ficará nas abscissas (eixo-x);
  * **trace.factor** é o fator que será usado para distinguir diferentes linhas no gráfico;
  * **response** é a variável resposta que será grafada nas ordenadas (eixo-y);
  * **fun** é a função da estatística a ser utilizada.

Vejamos a interação entre espécies e substrato no experimento do crescimento de mudas de espécies arbóreas:
<code>
> interaction.plot( mudas$substrato, mudas$especie, mudas$altura , col=c("red","blue"))   

</code>



=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas III // >
Tomando a altura média das árvores dominantes (média de '''hdom'' por '''parcela''') como variável resposta (dados de árvores de floresta plantada --- [[dados:dados-egrandis]]), verifique **graficamente** a interação entre região ('''regiao''') e rotação ('''rot''').
</box>


<box 100% left red | //**Exercício:** Variabilidade de Caixetais // >
Considere os dados do levantamento em três caixetais ([[dados:dados-caixeta]]). 

Pergunta-se: em qual dos caixetais ('''local'''), o diâmetro das árvores ('''dap''') é mais variável entre as parcelas ('''parcela''') quando se considera:
  * diâmetro **médio**;
  * diâmetro **mediano**;
  * diâmetro **máximo**?

Responda com base numa análise gráfica.
</box>














===== Comparação de Modelos =====


==== Função "anova": mais do que ANOVA ====


Um aspecto essencial à construção de modelos lineares é a comparação entre modelos.

A função **"anova"**, apesar do nome, é uma função muito utilizada para comparar modelos lineares que pertençam a uma certa //hierarquia// de modelos.

Vejamos o exemplo de construção de uma equação de biomassa com o seguinte forma:

<box 100% center green>

        ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \beta_6 (d_i\, h_i^2) + \varepsilon_i''

</box>

Embora esse seja um modelo muito problemático, ele serve para ilustrar o problema de seleção de modelos.  Vejamos o que acontece utilizando os dados de árvores de //E. saligna// ([[dados:dados-esaligna]]):
<code>
> biom = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
> summary(biom)

Call:
lm(formula = total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 *
    ht) + I(dap * ht^2), data = esa)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-38.670  -7.688  -1.022   8.561  45.191

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   -51.60332   65.40689  -0.789    0.437
dap             7.68140   11.24405   0.683    0.500
I(dap^2)        0.35420    0.53985   0.656    0.517
ht              7.48430    5.55867   1.346    0.189
I(dap * ht)    -1.42975    0.82821  -1.726    0.095 .
I(dap^2 * ht)   0.03763    0.03461   1.087    0.286
I(dap * ht^2)   0.01105    0.01593   0.694    0.493
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.13 on 29 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9728,     Adjusted R-squared: 0.9672
F-statistic: 172.9 on 6 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

>         
</code>

Veja que nenhuma das variáveis preditoras se mostrou significativa (nível de probabilidade de 5%) para estimar a biomassa total das árvores.  Mas esse resultado é razoável?

Vejamos o que a função **"anova"** nos mostra:
<code>
> anova(biom)
Analysis of Variance Table

Response: total
              Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)
dap            1 218121  218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
I(dap^2)       1  17791   17791  77.7108 1.063e-09 ***
ht             1    352     352   1.5375   0.22493
I(dap * ht)    1    312     312   1.3648   0.25222
I(dap^2 * ht)  1    816     816   3.5633   0.06911 .
I(dap * ht^2)  1    110     110   0.4811   0.49343
Residuals     29   6639     229
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
</code>

Nesse caso parece que o diâmetro e o diâmetro ao quadrado são significativos, mas os demais termos não.  Por que os testes geram resultados diferentes?

As funções **"summary"** e **"anova"** realizam testes de forma distinta:
  * O teste //t// da função **summary** testa cada variável preditora assumindo que **todas as demais variáveis já estâo presentes no modelo**.
  * O teste //F// da função **anova** testa as variáveis preditoras na seqüência apresentada no modelo, assumindo que as **variáveis anteriores** já estavam no modelo.

Desta forma, a função **anova** realiza teste de um modelo contra outro numa seqüência definida.  O mesmo resultado se obtem partindo o modelo
original numa série de modelos:

<box 100% green>**Modelo 0:**   ''b_i = \beta_0 + \varepsilon_i'' </box>

<box 100% green>**Modelo 1:**   ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \varepsilon_i'' </box>

<box 100% green>**Modelo 2:**   ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \varepsilon_i''   </box>

<box 100% green>**Modelo 3:**   <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \varepsilon_i   </latex></box>

<box 100% green>**Modelo 4:**   ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \varepsilon_i''   </box>

<box 100% green>**Modelo 5:**   ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \varepsilon_i'' 
</box>

<box 100% green>**Modelo 6:**   ''b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \beta_6 (d_i\, h_i^2) + \varepsilon_i'' </box>

Podemos ajustar esses modelos e utilizar a função **anova** para testá-los numa seqüência:
<code>
> m0 = lm( total ~ 1 , data=esa )
> m1 = lm( total ~ dap , data=esa )
> m2 = lm( total ~ dap + I(dap^2) , data=esa )
> m3 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht , data=esa )
> m4 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht), data=esa )
> m5 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht), data=esa )
> m6 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
>
>
> anova(m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6)
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ dap
Model 3: total ~ dap + I(dap^2)
Model 4: total ~ dap + I(dap^2) + ht
Model 5: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht)
Model 6: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht)
Model 7: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq        F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  26021  1    218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
3     33   8230  1     17791  77.7108 1.063e-09 ***
4     32   7878  1       352   1.5375   0.22493
5     31   7565  1       312   1.3648   0.25222
6     30   6749  1       816   3.5633   0.06911 .
7     29   6639  1       110   0.4811   0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>      
</code>

É importante lembrar que a função **anova** realiza o teste **na ordem que os modelos são apresentados**, e que isso pode ter forte influência nos resultados obtidos.
<code>
> anova( m0, lm(total ~ I(dap^2*ht),data=esa), lm( total ~ I(dap^2*ht) + dap, data=esa) )
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ I(dap^2 * ht)
Model 3: total ~ I(dap^2 * ht) + dap
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq       F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  22160  1    221982 473.534 < 2.2e-16 ***
3     33  15470  1      6690  14.272 0.0006292 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                   
</code>


=== Exercícios ===

<box 100% left red | //**Exercício:** Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna // >
Com base nos modelos apresentados acima, construa vários modelos para biomassa do tronco ('''tronco''') de //E. salgina// ([[:dados:dados-esaligna]]).
</box>

<box 100% left red | //**Exercício:** Modelo Polinomial // >
Construa um modelo polinomial (até quarto grau) da altura ('''ht''') em função do diâmetro ('''dap''') de árvores em caixetais ([[dados:dados-caixeta]]).  Verifique os termos significativos.
</box>

==== Algumas Funções para Comparação de Modelos ====


Existem várias outras funções para auxiliar na construção e comparação de modelos.

As funções '''add1''' e '''drop1''' permitem adicionar ou retirar **um-a-um** os termos dos modelos lineares:

<code>
> add1( object = m1, scope = . ~ dap + ht + I(dap*ht) + I(dap^2*ht) , test="F" )
Single term additions

Model:
total ~ dap
              Df Sum of Sq     RSS     AIC F value     Pr(F)
<none>                     26020.8   241.0
ht             1       1.0 26019.7   243.0  0.0013   0.97162
I(dap * ht)    1    2507.0 23513.8   239.3  3.5184   0.06956 .
I(dap^2 * ht)  1   10551.1 15469.6   224.3 22.5077 3.912e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
</code>

<code>
> drop1( object = m6, scope = . ~ .,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
              Df Sum of Sq    RSS    AIC F value   Pr(F)
<none>                     6639.3  201.8
dap            1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.49993
I(dap^2)       1      98.6 6737.8  200.4  0.4305 0.51693
ht             1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.18860
I(dap * ht)    1     682.3 7321.5  203.3  2.9801 0.09493 .
I(dap^2 * ht)  1     270.7 6910.0  201.3  1.1824 0.28582
I(dap * ht^2)  1     110.2 6749.4  200.4  0.4811 0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
>
> drop1( object = m6, scope = . ~ dap + ht,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
       Df Sum of Sq    RSS    AIC F value  Pr(F)
<none>              6639.3  201.8
dap     1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.4999
ht      1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.1886
>                                                                             
</code>

Nessas duas funções, o ponto (**"."**) na fórmula significa todos os termos do modelo.  Ou seja, para um dado modelo, o '''scope''' igual a **" . ~ . "** significa todos os termos da fórmula do modelo.


Outras funções úteis para construção e comparação de modelos são: 
  * **"step"** que realiza //regressão stepwise//; e
  *  **"AIC"** que calcula o //Akaike Information Criterion//.
<code>
> aic.tab = AIC( m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6 )
> aic.tab$AIC.d = abs( c(0, diff(aic.tab$AIC)) )
> aic.tab
   df      AIC      AIC.d
m0  2 423.7551  0.0000000
m1  3 345.1563 78.5987781
m2  4 305.7148 39.4414506
m3  5 306.1411  0.4262982
m4  6 306.6842  0.5430302
m5  7 304.5765  2.1077173
m6  8 305.9841  1.4076291
>  
</code>




=== Exercícios ===


<box 100% left red | //**Exercício:** Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna II// >
Utilizando os modelos para biomassa do tronco ('''tronco''') de //E. salgina// construidos no exercício acima, utilize as funções **drop1** e **add1** para analisar a importância dos termos individuais do modelo.
</box>


<box 100% left red | //**Exercício:** Relação Altura-Diâmetro em Florestas Plantadas//>
Utilize a função **AIC** para analisar a importância das variáveis indicadoras nos modelos de relação altura-diâmetro ajustados para florestas de //E. grandis//.
</box>
ecoR

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