Diferenças

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--- 03_apostila:03-funcoes [2020/08/17 18:22]
adalardo [Mantendo a Coerência Lógica-Matemática]
+++ 03_apostila:03-funcoes [2023/08/22 12:51]
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-<WRAP tabs>
-  * [[02_tutoriais:tutorial2:start|Tutorial]]
-  * [[01_curso_atual:exercicios2| Exercícios]]
-  * [[03_apostila:03-funcoes| Apostila]]
-</WRAP>
-====== 2. Funções Matemáticas e Estatísticas ======
-===== O R como uma Calculadora Fora do Comum =====
-==== Operações Aritméticas Básicas ====
-A linha de comando do R funciona como uma calculadora.  Todas operações aritméticas
-e funções matemáticas principais estão disponíveis. Exemplo:
-<code>
-> 4 + 9
-[1] 13
-> 4 - 5
-[1] -1
-> 4 * 5
-[1] 20
-> 4 / 5
-[1] 0.8
-> 4^5
-[1] 1024
->
-</code>
-A notação básica de operações algébricas, como a aplicação hierárquica de parênteses,
-também pode ser utilizada:
-<code>
-> (4 + 5 ) * 7 - (36/18)^3
-[1] 55
-> (2 * ( 2 * ( 2 * (3-4))))
-[1] -8
->
-</code>
-Note que somente os parênteses podem ser utilizados nas expressões matemáticas.  As chaves ("{}") e os colchetes ("[]") têm outras funções no R:
-<code>
-> (2 * { 2 * [ 2 * (3-4)]})
-Error: syntax error in "(2 * { 2 * ["
->
-</code>
-Por que o R é uma calculadora **fora do comum** ?  Experimente fazer a seguinte operação matemática na sua calculadora:
-<code>
-> 1 - (1 + 10^(-15))
-</code>
-==== Funções Matemáticas Comuns ====
-As funções matemáticas comuns também estão disponíveis e podem ser aplicadas diretamente na linha de comando:
-<code>
-> sqrt(9)   # Raiz Quadrada
-[1] 3
-> abs( - 1 )  # Módulo ou valor absoluto
-[1] 1
-> abs( 1 )
-[1] 1
-> log( 10 )   # Logaritmo natural ou neperiano
-[1] 2.302585
-> log( 10, base = 10) # Logaritmo base 10
-[1] 1
-> log10(10)   # Também logaritmo de base 10
-[1] 1
-> log( 10, base = 3.4076) # Logaritmo base 3.4076
-[1] 1.878116
-> exp( 1 )       # Exponencial
-[1] 2.718282
->
-</code>
-As funções trigonométricas:
-<code>
-> sin(0.5*pi)    # Seno
-[1] 1
-> cos(2*pi)      # Coseno
-[1] 1
-> tan(pi)        # Tangente
-[1] -1.224647e-16
->
-> asin(1)       # Arco seno (em radianos)
-[1] 1.570796
-> asin(1) / pi * 180
-[1] 90
->
-> acos(0)      # Arco coseno (em radianos)
-[1] 1.570796
-> acos(0) / pi * 180
-[1] 90
-> atan(0)    # Arco tangente (em radianos)
-[1] 0
-> atan(0) / pi * 180
-[1] 0
->
-</code>
-Funções para arredondamento:
-<code>
-> ceiling( 4.3478 )
-[1] 5
-> floor( 4.3478 )
-[1] 4
-> round( 4.3478 )
-[1] 4
-> round( 4.3478 , digits=3)
-[1] 4.348
-> round( 4.3478 , digits=2)
-[1] 4.35
->
-</code>
-Funções matemáticas de especial interesse estatístico:
-<code>
-> factorial( 4 )         # Fatorial de 4
-[1] 24
-> choose(10, 3)          # Coeficientes binomiais: combinação de 10 3-a-3
-[1] 120
->
-</code>
-==== Criando Variáveis com Atribuição====
-Mais do que simples operações aritméticas,  o R permite que executemos operações **algébricas** operando sobre variáveis pré-definidas.
-Para definir uma variável, basta escolher um nome (//lembre-se das regras de nomes no R//) e atribuir a ela um valor:
-<code>
-> a = 3.6
-> b = sqrt( 35 )
-> c = -2.1
-> a
-[1] 3.6
-> b
-[1] 5.91608
-> c
-[1] -2.1
->
-> a * b / c
-[1] -10.14185
-> b^c
-[1] 0.02391820
-> a + exp(c) - log(b)
-[1] 1.944782
->
-> a - b * c / d
-Error: object "d" not found
-</code>
-Não esqueça de definir as variáveis previamente!!
-=== Exercícios ===
-<box left red 80% | **Exercício 2.1. //Estimador de Pollard//**>
-Pollard (1971) propôs o seguinte estimador para estimar a densidade no método de
-quadrantes:
-$$\hat{N} = \frac{4(4n-1)}{\pi \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2} $$
-onde, $r_{ij}$ é a distância de árvore do quadrante $j$ no
-ponto $i$ ao centro do ponto quadrante e $n$ é o número de pontos quadrantes.
-A variância desse estimador é:
-$$Var(\hat{N_p}) = \frac{\hat{N_p}}{4n-2}$$
-Imagine que foram amostrados 30 quadrantes, e que o valor da soma do quadrado das distâncias de cada árvore ao centro de seu quadrante foi de:
-$$\sum_{i=1}^{30} \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2 = 2531,794$$
-  - Qual a densidade estimada?
-  - Qual a variância?
-</box>
-<box left red 80% | **Exercício 2.2. //Área transversal de uma Árvore//** >
-A área transversal de uma árvore é calculada assumindo que a secção transversal
-do tronco à altura do peito (1,3m) é perfeitamente circular.
-Se o diâmetro à altura do peito (DAP) de uma árvore for 13.5cm, qual
-a área transversal?
-Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
-a sua área transversal?
-</box>
-<box left red 80% | **Exercício 2.3. //Área transversal de uma Árvore (Revisitado)//** >
-Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
-o diâmetro (único) que é equivalente à sua área transversal?
-</box>
-<box left red 80% | **Exercício 2.4. //Cálculo da Biomassa de Árvores do Cerrado//**>
-O modelo alométrico de biomassa ajustado para árvores do Cerradão
-estabele que a biomassa é dada pela expressão:
-$$\hat{b} = e^{-1,7953} d^{2.2974}$$
-onde ''b'' é a biomassa em //kg// e
-''d'' é o DAP em //cm//.
-Já um outro modelo para biomassa das árvores na
-mesma situação tem a forma:
-$$\hat{ln(b)} = -2.6464 + 1,996ln(d) + 0,7558ln(h)$$
-onde ''h'' é a altura das árvores em //m//.
-Para uma árvore com DAP de 15//cm// e altura de 12//m//, os
-modelos resultarão em estimativas muito distintas?
-</box>
-==== Mantendo a Coerência Lógica-Matemática ====
-O R também lida com operações matemáticas que envolvem **elementos infinitos** e **elementos indeterminados**:
-  > 1/0
-  [1] Inf
-  > -5/0
-  [1] -Inf
-  > 500000000000000000/Inf
-  [1] 0
-  > 0/0
-  [1] NaN
-  > Inf/Inf
-  [1] NaN
-  > log(0)
-  [1] -Inf
-  > exp(-Inf)
-  [1] 0
-  > sqrt(Inf)
-  [1] Inf
-  > sqrt(-1)
-  [1] NaN
-  Warning message:
-  NaNs produced in: sqrt(-1)
-  > 2 * NA
-  [1] NA
-  > 2 * NaN
-  [1] NaN
-  > NA / 10
-  [1] NA
-  > NaN / -1
-  [1] NaN
-Note que determinadas **palavras** (além do nome das funções) estão reservadas no R, pois são utilizadas com significado especial:
-  * ''pi''  - constante  pi = 3.141593 ;
-  * ''Inf'' - infinito;
-  * ''NaN'' - indeterminado (Not a Number), normalmente resultado de uma operação matemática indeterminada;
-  * ''NA''  - indeterminado (Not Available), normalmente caracterizando uma observação perdida (//missing value//).
-Na operações matemáticas, ''NaN'' e ''NA'' atuam sempre como **indeterminado**.
-<box left red 80% | //**2.5. Exercício Conceitual:** Criando Variáveis com Nomes Reservados// >
-O que acontece se você criar uma variável com o nome ''pi''?  Por exemplo,
-<code>
-> pi = 10
-</code>
-O que acontece com a constante //pi//?
-E se for criada uma constante de nome ''sqrt''?  O que acontece com a função raíz quadrada (''sqrt()'')?
-**DICA:** O que faz a função ''search'', no comando:
-<code>
-> search()
-</code>
-</box>
-=== Exercícios ===
-<box left red 80%| //**2.6. Exercício Conceitual:** O que é uma Observação Perdida//>
-Como se caracteriza uma **observação perdida**?
-Quando o diâmetro de uma árvore deve ter o valor **zero** ou o valor **NA**?
-E o peso de um animal?  E a biomassa de uma floresta?  E a espécie de uma ave?
-</box>
-===== O R como uma Calculadora Vetorial =====
-==== Criação de Vetores ====
-O R, e a linguagem S, foram criados para operar não apenas //número-a-número// como uma calculadora convencional.
-O R é um ambiente **vetorial**,  isto é, quase todas suas operações atuam sobre um //conjunto de valores//,
-que genericamente chamaremos de vetores((No R, "vetores" são uma classe de objetos definida simplesmente como conjuntos de elementos de um mesmo tipo. Os vetores do R não correspondem a vetores de valores da álgebra matricial, para os quais há outra classe de objetos, que é "matrix")).
-Uma definição mais detalhada dos vetores está [[04-dados#Vetores|na seção sobre manipulação de dados]]. Aqui fornecemos apenas algumas definições e funções importantes para compreender as operações numéricas com vetores.
-=== Concatenação de Elementos em um Vetor: a Função "c" ===
-Para criar um vetor, podemos usar a função ''c'' (c = colar, concatenar).  Essa função simplesmente junta todos
-os argumentos dados a ela, formando um vetor:
-<code>
-> a = c(1, 10, 3.4, pi, pi/4, exp(-1), log( 2.23 ), sin(pi/7) )
-> a
-[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016  0.4338837
->
-</code>
-=== Criação de Sequências: Operador ":" e Função "seq" ===
-Para criar vetores de números com intervalo fixo unitário (intervalo de 1) se utiliza o //operador seqüencial// ('':''):
-<code>
-> b = 1:8
-> b
-[1] 1 2 3 4 5 6 7 8
-> c = 20:32
-> c
- [1] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
-> d = 2.5:10
-> d
-[1] 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
-</code>
-Uma forma mais flexível de criar seqüências de números (inteiros ou reais) é usando a função '''seq''':
-<code>
-> seq(10, 30)
- [1] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-> seq(10, 30, by=2)
- [1] 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-> seq(1.5, 7.9, length=20)
- [1] 1.500000 1.836842 2.173684 2.510526 2.847368 3.184211 3.521053 3.857895
- [9] 4.194737 4.531579 4.868421 5.205263 5.542105 5.878947 6.215789 6.552632
-[17] 6.889474 7.226316 7.563158 7.900000
-</code>
-=== Vetores de Valores Repetidos: Função "rep" ===
-Também é fácil criar uma seqüência de números repetidos utilizando a função '''rep''':
-<code>
-> rep(5, 3)
-[1] 5 5 5
-> rep(1:5, 3)
- [1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
-> rep(1:5,each=3)
- [1] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
->
-</code>
-=== Exercícios ===
-<box left red | //**Exercício 2.7.** Palmeira com Muitos Fustes I//>
-Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.
-Crie um vetor '''dap''' com os diâmetros acimas e uma seqüência que enumera os fustes.
-</box>
-==== Vetores: Operações Matemáticas  ====
-Todas operações matemáticas aplicadas sobre um vetor, serão aplicadas sobre cada elemento desse vetor:
-<code>
-> 2 * a
-[1]  2.0000000 20.0000000  6.8000000  6.2831853  1.5707963  0.7357589  1.6040032
-[8]  0.8677675
-> sqrt( a )
-[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
-[8] 0.6586985
->
-> log( a )
-[1]  0.0000000  2.3025851  1.2237754  1.1447299 -0.2415645 -1.0000000 -0.2206447
-[8] -0.8349787
->
-</code>
-Se as variáveis que trabalhamos são vetores, operações matemáticas entre variáveis serão realizadas
-pareando os elementos dos vetores:
-<code>
-> a* b
-[1]  1.000000 20.000000 10.200000 12.566371  3.926991  2.207277  5.614011
-[8]  3.471070
-> a - b
-[1]  0.0000000  8.0000000  0.4000000 -0.8584073 -4.2146018 -5.6321206 -6.1979984
-[8] -7.5661163
-> a^(1/b)
-[1] 1.0000000 3.1622777 1.5036946 1.3313354 0.9528356 0.8464817 0.9689709
-[8] 0.9008898
->
-> sqrt( a )
-[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
-[8] 0.6586985
-> log( b )
-[1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379 1.7917595 1.9459101
-[8] 2.0794415
->
-</code>
-=== Comprimento de Vetores e a Função "length" ===
-A função ''length'' retorna o número de elementos de um objeto:
-<code>
-> a <- seq(from=0, to=10, by=2)
-> a
-[1]  0  2  4  6  8 10
-> length(a)
-[1] 6
-> length(1:20)
-[1] 20
-> length(rep(1:10,each=10))
-[1] 100
->
-</code>
-=== A Regra da Ciclagem ===
-O comprimento é muito importante para as operações vetoriais, pois o R permite operações entre dois vetores de comprimentos diferentes, com a seguinte regra:
-<box red |**Ciclagem de Valores**> Operações entre vetores de comprimentos diferentes são realizadas pareando-se seus elementos. Os elementos do vetor mais curto são repetidos sequencialmente até que a operação seja aplicada a todos os elementos do vetor mais longo</box>
-Quando o comprimento do vetor maior não é múltiplo do comprimento do maior, o R retorna o resultado e um aviso:
-<code>
-> b
- [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
-> c
-[1] 1 2 3
-> c*b
- [1] 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1
-Warning message:
-In c * b : longer object length is not a multiple of shorter object length
-> length(b)
-[1] 10
-> length(c)
-[1] 3
->
-</code>
-Mas se o comprimento do vetor maior é um múltiplo do maior, o R retorna apenas o resultado, sem nenhum alerta:
-<code>
-> a
-[1] 1 2
-> b
- [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
-> a*b
- [1] 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2
-> length(b)/length(a)
-[1] 5
->
-</code>
-Portanto **muito cuidado com as operações entre vetores de diferentes comprimentos**. A regra da ciclagem é um recurso poderoso da linguagem R ((A vantagem mais óbvia da regra da ciclagem é a possibilidade de multiplicação de um vetor por um valor único. Você compreende por que?)), mas se você não tiver clareza do que deseja fazer, pode obter resultados indesejados.
-=== Exercícios ===
-<box left red | //**Exercício 2.8. ** Palmeira com Muitos Fustes II//>
-Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.
-  - Calcule a área transversal de cada fuste dessa palmeira. Guarde este resultado em novo objeto.
-  - Calcule a média das áreas transversais, sem usar a função ''mean''.
-  - Calcule a variância das áreas transversais, sem usar a função ''var''
-</box>
-<box left red | //**Exercício 2.9.** Bits e Bytes//>
-Como construir uma seqüência que representa o aumento do número
-de bits por byte de computador, quando se dobra o tamanho dos bytes?
-Essa seqüência numérica parte do 2 e dobra os valores a cada passo.
-</box>
-==== Vetores: Operações Estatísticas  ====
-As funções matemáticas sobre vetores operam //elemento-a-elemento//.  Já as funções estatísticas operam no vetor **como um todo**:
-<code>
-> mean( a )
-[1] 2.491344
-> var( b )
-[1] 6
-> max( c )
-[1] 32
-> sd( a )
-[1] 3.259248
-> sum( c )
-[1] 338
-> min( b )
-[1] 1
-> range( c )
-[1] 20 32
->
-</code>
-Algumas funções úteis que não são estatísticas, mas operam no vetor são:
-<code>
-> a
-[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016
-[8]  0.4338837
-> sort(a)
-[1]  0.3678794  0.4338837  0.7853982  0.8020016  1.0000000  3.1415927  3.4000000
-[8] 10.0000000
-> rev(sort(a))
-[1] 10.0000000  3.4000000  3.1415927  1.0000000  0.8020016  0.7853982  0.4338837
-[8]  0.3678794
-> cumsum(sort(a))
-[1]  0.3678794  0.8017632  1.5871613  2.3891629  3.3891629  6.5307556  9.9307556
-[8] 19.9307556
-> cumsum(a)
-[1]  1.00000 11.00000 14.40000 17.54159 18.32699 18.69487 19.49687 19.93076
-> diff(a)
-[1]  9.0000000 -6.6000000 -0.2584073 -2.3561945 -0.4175187  0.4341221 -0.3681178
-> diff( seq(10, 34, length=15) )
- [1] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
- [9] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
->
-</code>
-=== Exercícios ===
-<box left red 100% | //**Exercício 2.10.** Conta de Luz//>
-As leituras mensais do medidor de consumo de eletricidade de uma casa foram:
-^Jan^Fev^Mar^Abr^Mai^Jun^Jul^Ago^Set^Out^Nov^Dez^
-|9839|10149|10486|10746|11264|11684|12082|12599|13004|13350|13717|14052|
-  - Calcule o consumo de cada mês neste período.
-  - Qual foi o máximo e mínimo de consumo mensal?
-  - Qual a média, mediana e variância dos consumos mensais?
-</box>
-===== As Funções no R  =====
-Já foi visto que ao se digitar o nome de uma função na linha de comando, o R retorna o **código** da função. Veja a diferença de:
-<code>
-> ls()
-</code>
-para:
-<code>
-> ls
-</code>
-A maioria das funções precisa de certas **informações** para orientar o seu procedimento, tais informações são chamados de **argumentos**.
-Os argumentos de qualquer função são detalhadamente explicados nas páginas de ajuda sobre a função.  Mas para uma rápida consulta dos argumentos de uma função podemos usar a função '''args''':
-<code>
-> args(ls)
-function (name, pos = -1, envir = as.environment(pos), all.names = FALSE,
-    pattern)
-NULL
-> args(q)
-function (save = "default", status = 0, runLast = TRUE)
-NULL
-> args(save.image)
-function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
-    safe = TRUE)
-NULL
->
-</code>
-Algumas funções, entretanto, são primitivas ou internas e seus argumentos não são apresentados.  Geralmente, nesses casos os argumentos  são bastante óbvios:
-<code>
-> args(sin)
-NULL
-> sin
-.Primitive("sin")
->
-</code>
-Outras funções simplesmente não possuem argumentos:
-<code>
-> args(getwd)
-function ()
-NULL
-> getwd
-function ()
-.Internal(getwd())
-<environment: namespace:base>
->
-</code>
-Ao observar o resultado da função '''args''', você notará que alguns argumentos são seguidos de uma expressão que se inicia com o sinal de igualdade ('''=''').  A expressão após o sinal de igualdade é chamada de **valor default** do argumento.   Se o usuário não informar o valor para um dado argumento, a função usa o valor default.  Como exemplo veja a função '''save.image''':
-<code>
-> args(save.image)
-function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
-    safe = TRUE)
-NULL
->
-</code>
-Se o usuário simplesmente evocar a função '''save.image()''', sem informar o nome do arquivo onde a área de trabalho deve ser gravada, o R gravará as informações num arquivo com nome '''.RData'''.
-=== Exercícios ===
-<box left red 100% | //**Exercício 2.11.** Argumentos de Funções Estatísticas //>
-Quais são os argumentos (e seus valores default) das seguintes funções:
-  * **mean**
-  * **sd**
-  * **range**
-  * **cumsum**
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.12.** Argumentos de Funções de Uso Comum //>
-Quais são os argumentos (e seus valores default) das funções:
-  * **sort**
-  * **log**
-  * **seq**
-O que é o argumento **". . ."**?
-</box>
-===== Distribuições Estatísticas: Funções no R =====
-Sendo um ambiente para análise de dados, o R dispõe de um grande conjunto de funções para trabalhar com //Distribuições Estatísticas//.  Essas funções ajudam não só na análise de dados, como também permitem a //simulação// de dados.
-==== Distribuição Normal ====
-A distribuição Normal é a distribuição central da teoria estatística. Para gerar uma amostra de observações de uma distribuição normal utilizamos a função '''rnorm''':
-<code>
-> args( rnorm )
-function (n, mean = 0, sd = 1)
-NULL
-> vn1 = rnorm( 1000, mean = 40,  sd = 9 )
-> mean( vn1 )
-[1] 39.47248
-> sd( vn1 )
-[1] 8.523735
-> range( vn1 )
-[1] 14.93126 62.11959
->
-> vn2 = rnorm( 100000, mean = 40,  sd = 9 )
-> mean( vn2 )
-[1] 40.02547
-> sd( vn2 )
-[1] 9.025218
-> range( vn2 )
-[1]  3.40680 78.25496
->
-</code>
-Se quisermos saber a //probabilidade acumulada// até um certo valor de uma variável com distribuição normal utilizamos a função '''pnorm''':
-<code>
-> args(pnorm )
-function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
-NULL
->
-> pnorm( 1.96, mean = 0 , sd = 1 )
-[1] 0.9750021
-> pnorm( 1.96 )
-[1] 0.9750021
->
-> pnorm( 27, mean = 20, sd = 7 )
-[1] 0.8413447
-> pnorm( 13, mean = 20, sd = 7 )
-[1] 0.1586553
->
-</code>
-Se quisermos obter o valor de um //quantil// da distribuição normal utilizamos a função '''qnorm''':
-<code>
-> args( qnorm )
-function (p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
-NULL
-> qnorm( 0.90 )
-[1] 1.281552
-> qnorm( 0.30 )
-[1] -0.5244005
->
-> qnorm( 0.90, 20, 7)
-[1] 28.97086
-> qnorm( 0.30, 20, 7)
-[1] 16.32920
->
-</code>
-A função '''dnorm''' fornece a //densidade probabilística// para cada valor de uma variável Normal:
-<code>
-> args( dnorm )
-function (x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
-NULL
-> x = seq(-4, 4, length=10000)             # Seqüência de -4 a 4 com 10.000 valores
->
-> plot(x, dnorm(x))                        # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 1
-> points(x, dnorm(x, sd=2))                # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 2 (adicionada ao gráfico)
->
-</code>
-=== Exercícios ===
-<box left red  100% | //**Exercício 2.13** Amplitude Normal//>
-Tomando uma variável que segue a Distribuição Normal, o que acontence com a //amplitude de variação// dos dados à medida que o tamanho da amostra cresce (por exemplo n= 100, 1000, 10000)?
-**Dica:** use as funções ''range'' e ''diff''
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.14.** Intervalo Normal I //>
-Qual o intervalo da Distribuição Normal Padronizada que têm a média no centro e contem 50% das observações?
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.15.** Intervalo Normal II //>
-Qual a probabilidade de uma observação da variável Normal Padronizada estar no intervalo [-1.96 , 1.96]?
-</box>
-==== As Funções que Operam em Distribuições Estatísticas ====
-O que foi apresentado para Distribuição Normal pode ser generalizado para todas as distribuições que o R trabalha.
-Há quatro funções para se trabalhar com distribuições estatísticas:
-  * **d**//distrib// - retorna a //densidade probabilística// para um dado valor da variável;
-  * **p**//distrib// - retorna a //probabilidade acumulada// para um dado valor da variável;
-  * **q**//distrib// - retorna o //quantil// para um dado valor de probabilidade acumulada;
-  * **r**//distrib// - retorna //valores// (números aleatórios) gerados a partir da distribuição;
-No caso da Distribuição Normal: //distrib// = ''norm''.  Para outras distribuições temos:
-<box 70% orange centered | **DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS NO R**>
-^ Distribuição ^ Nome no R ^ Parâmetros((os argumentos de cada função incluem estes parâmetros, entre outras coisas)) ^
-| beta 	       | beta      | shape1, shape2, ncp |
-| binomial     | binom     | size, prob |
-| Cauchy       | cauchy    | location, scale |
-| qui-quadrado | chisq     | df, ncp |
-| exponential  | exp       | rate |
-| F            | f         | df1, df2, ncp |
-| gamma        | gamma     | shape, scale |
-| geométrica   | geom      | prob |
-| hypergeométrica | hyper  | m, n, k |
-| log-normal   | lnorm     | meanlog, sdlog |
-| logística    | logis     | location, scale |
-| binomial negativa | nbinom     | size, prob |
-| normal       | norm      | mean, sd |
-| Poisson      | pois      | lambda |
-| t de Student | t         | df, ncp |
-| uniforme     | unif      | min, max |
-| Weibull      | weibull   | shape, scale |
-| Wilcoxon     | wilcox    | m, n  |
-</box>
-=== Exercícios ===
-<box left red  100% | //**Exercício 2.16.** Teste t //>
-Você realizou um teste //t// de Student bilateral e obteve o valor //t = 2.2// com 19 graus de liberdade.
-O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //t = 1.9//?
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.17.** Teste F //>
-Você realizou um teste //F// e obteve o valor //F = 2.2// com 19 graus de liberdade no numerador e 24 graus de liberdade no denominador.
-O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //F = 2.5//?
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.18.** Padrão Espacial I //>
-Gere duas amostras (p.ex.: //x// e //y//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Uniforme.
-Faça um gráfico plotando uma amostra contra a outra (''plot(x,y)'').  Qual o padrão espacial observado?
-Você consegue explicá-lo?
-</box>
-<box left red  100% | //**Exercício 2.19.** Padrão Espacial II //>
-Gere duas amostras (p.ex.: //xp// e //yp//) de tamanho 10 (n=10) de números da distribuição Uniforme, com valor mínimo de zero e máximo de 100.
-Gere duas amostras (p.ex.: //xf// e //yf//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Normal com média zero e desvio padrão 2)
-Faça um gráfico plotando a soma das amostras X (//xp+xf//) contra a soma das amostras Y (//yp+yf//) (''plot(xp+xf,yp+yf)'').
-Qual o padrão espacial observado?  Você consegue explicá-lo?
-</box>
-<box left red red  100% | //**Exercício 2.20.** Gráfico Quantil-Quantil //>
-Construa uma seqüência **ordenada** de 1000 números entre 0 e 1:
-<code>
-> p = seq(0, 1, length=1000)
-</code>
-O vetor '''p''' representa um vetor de probabilidades acumuladas.
-Gere 1000 números aleatórios da distribuição Normal com média e desvio-padrão 1 (um) e coloque os números em ordem:
-<code>
-> x = sort( rnorm(1000, mean=1) )
-</code>
-Faça um gráfico dos quantis da distribuição Normal, tomando o vetor '''p''' de probabilidades, contra os valores de '''x''':
-<code>
-> plot( qnorm(p, mean=1), x )
-</code>
-Como é o gráfico resultante?
-Repita o mesmo processo para a distribuição Exponencial ( '''rexp''' ), cujo valor //default// resulta em média = 1 .  Como é o gráfico resultante? Por que?
-</box>
-/*
-===== Soluções dos Exercícios =====
-{{:03_apostila:exerc3apostila.r|Aqui}} você encontra os códigos que solucionam alguns dos exercícios propostos.
-Se o seu código for diferente, não quer dizer necessariamente que errou. Compare os dois resultados! Como qualquer linguagem, o R é criativo: em muitos casos há mais de uma maneira de solucionar um problema.
-*/

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